山东省滕州市第一中学2020-2021学年高二（一部）12月小月考数学试题（可编辑PDF版）

1 数学周测答案 1—8 D B D C B A B B 9. AC 10 AC 11 AC 12 ABD 13. 𝟐 𝟑 14. 𝟓√𝟐 15. √𝟓 𝟐 16. 5 17. 解：（1）设双曲线方程为： 2 23x y − = ，将点(√𝟐, √𝟑)的坐标代入双曲线的方程得 𝝀 = 𝟑 × 𝟐 − 𝟑 = 𝟑 所以所求双曲线方程为𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 𝟑 = 𝟏； （2）易知双曲线右焦点的坐标为(𝟐, 𝟎)，设点𝑨(𝒙𝟏, 𝒚𝟏)、𝑩(𝒙𝟐, 𝒚𝟐)， 直线𝑨𝑩的方程为𝒚 = 𝒙 − 𝟐，联立{ 𝒚 = 𝒙 − 𝟐 𝟑𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 = 𝟑 ，可得 22 4 7 0x x+ − = ， 𝜟 = 𝟏𝟔 + 𝟒 × 𝟐 × 𝟕 = 𝟕𝟐，由韦达定理可得𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 = −𝟐，𝒙𝟏𝒙𝟐 = − 𝟕 𝟐 . |𝑨𝑩| = √𝟏 + 𝟏𝟐 ⋅ |𝒙𝟏 − 𝒙𝟐| = √𝟐 ⋅ √(𝒙𝟏 + 𝒙𝟐) 𝟐 − 𝟒𝒙𝟏𝒙𝟐 = √𝟐 × √(−𝟐) 𝟐 − 𝟒 × (− 𝟕 𝟐 ) = 𝟔. 18. （1）由𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟒𝒚 − 𝟒 = 𝟎得：(𝒙 − 𝟏)𝟐 + (𝒚 + 𝟐)𝟐 = 𝟗. ∴圆𝑪的圆心为：𝑪(𝟏, −𝟐)，半径𝒓 = 𝟑. （2）假设存在直线𝒍，设方程为 y x m= + ，𝑨(𝒙𝟏, 𝒚𝟏)，𝑩(𝒙𝟐, 𝒚𝟐)， ∵以𝑨𝑩为直径的圆过圆心𝑶，∴ 𝑶𝑨 ⊥ 𝑶𝑩，即𝒙𝟏𝒙𝟐 + 𝒚𝟏𝒚𝟐 = 𝟎. 由{ 𝒚 = 𝒙 + 𝒎 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟒𝒚 − 𝟒 = 𝟎 消去𝒚得：𝟐𝒙𝟐 + 𝟐(𝒎 + 𝟏)𝒙 + 𝒎𝟐 + 𝟒𝒎 − 𝟒 = 𝟎. 由𝜟 = 𝟒(𝒎 + 𝟏)𝟐 − 𝟖(𝒎𝟐 + 𝟒𝒎 − 𝟒) > 𝟎得：−𝟑√𝟐 − 𝟑 < 𝒎 < 𝟑√𝟐 − 𝟑. 由根与系数关系得：𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 = −(𝒎 + 𝟏)，𝒙𝟏𝒙𝟐 = 𝒎𝟐+𝟒𝒎−𝟒 𝟐 ， ∴ 𝒚𝟏𝒚𝟐 = (𝒙𝟏 + 𝒎)(𝒙𝟐 + 𝒎) = 𝒙𝟏𝒙𝟐 + 𝒎(𝒙𝟏 + 𝒙𝟐) + 𝒎 𝟐， ∴ 𝒙𝟏𝒙𝟐 + 𝒚𝟏𝒚𝟐 = 𝟐𝒙𝟏𝒙𝟐 + 𝒎(𝒙𝟏 + 𝒙𝟐) + 𝒎 𝟐 = 𝟎，解得：𝒎 = 𝟏或−𝟒. ∴直线𝒍方程为：𝒚 = 𝒙 + 𝟏或𝒚 = 𝒙 − 𝟒. 19. （1）由已知，直线 AP，BP 的斜率存在，AB 是圆 O 的直径， 所以 AP⊥BP， 所以 kAP·kBP＝－1 是定值. （2）设 P(m，n)，M(x，y)，则 Q(m,0)， 则𝑷𝑸⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0，－n)，𝑷𝑴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗＝(x－m，y－n)， 因为𝟐𝑷𝑸⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝑷𝑴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗， 所以 2(0，－n)＝－(x－m，y－n)， 2 得{ 𝟎 = −𝒙 + 𝒎 −𝟐𝒏 = −𝒚 + 𝒏 ，即{ 𝒎 = 𝒙 𝒏 = 𝟏 𝟑 𝒚 ， ① 因为点 P 在圆 O 上，所以 m2＋n2＝1， ② 将①代入②，得 x2＋ 2 9 y ＝1，又点 P 异于 A，B， 所以 x≠±1，即点 M 的轨迹方程 C 为 x2＋ 2 9 y ＝1 (x≠±1). 20. 建立如图所示的空间直角坐标系， 则𝑨(𝟎, 𝟎, 𝟎), 𝑩(𝟐√𝟑, 𝟐, 𝟎), 𝑪(𝟎, 𝟒, 𝟎), 𝑪𝟏(𝟎, 𝟒, 𝟒)， ∵N 是 1CC 的中点，∴𝑵(𝟎, 𝟒, 𝟐). （1）𝑨𝑵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝟎, 𝟒, 𝟐), 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝟐√𝟑, 𝟐, 𝟎)，则|𝑨𝑵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = 𝟐√𝟓, |𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = 𝟒. 设点 N 到直线𝑨𝑩的距离为𝒅𝟏， 则𝒅𝟏 = √|𝑨𝑵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | 𝟐 − ( 𝑨𝑵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | ) 𝟐 = √𝟐𝟎 − 𝟒 = 𝟒.