专题10 正余弦定理及其应用-2021年高考数学二轮优化提升专题训练（新高考地区专用）【学科网名师堂】

专题10 正余弦定理及其应用 【知识框图】 【自主热身，归纳总结】 1、（2020届山东实验中学高三上期中）在 中，若 ，则 =（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】余弦定理 将各值代入 得 解得 或 (舍去)选A. 2、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】 的内角 的对边分别为 .若 ，则 的面积为_________． 【答案】 【解析】由余弦定理得 ，所以 ，即 ， 解得 （舍去）， 3、【2019年高考浙江卷】在 中， ， ， ，点 在线段 上，若 ，则 ___________， ___________． 【答案】 ， 【解析】如图，在 中，由正弦定理有： ，而 ， ， ，所以 . . 所以 ， 4、【2018年高考浙江卷】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若 ，b=2，A=60°，则sin B=___________，c=___________． 【答案】 ，3 【解析】由正弦定理得 ，所以 由余弦定理得 （负值舍去）. 5、【2020年高考天津】在 中，角 所对的边分别为 ．已知 ． （Ⅰ）求角 的大小； （Ⅱ）求 的值； （Ⅲ）求 的值． 【解析】（Ⅰ）在 中，由余弦定理及 ，有 ．又因为 ，所以 ． （Ⅱ）在 中，由正弦定理及 ，可得 ． （Ⅲ）由 及 ，可得 ， 进而 ． 所以， ． 6、【2020年高考浙江】在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，C．已知 ． （Ⅰ）求角B的大小； （Ⅱ）求cosA+cosB+cosC的取值范围． 【解析】（Ⅰ）由正弦定理得 ，故 ， 由题意得 . （Ⅱ）由 得 ， 由 是锐角三角形得 . 由 得 . 故 的取值范围是 . 【问题探究，变式训练】 题型一 运用正、余弦定理解决边角及面积问题 知识点拨：正余弦定理主要是解决三角形的边角问题，在解三角形时要分析三角形中的边角关系，要合理的使用正、余弦定理，要有意识的考虑是运用正弦定理还是余弦定理，就要抓住这两个定理的使用条件。 例1、【2020年高考全国III卷理数】在△ABC中，cosC= ，AC=4，BC=3，则cosB= A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 在 中， ， ， ， 根据余弦定理： ， ， 可得 ，即 ， 由 EMBED Equation.DSMT4 ， 故 . 故选：A． 变式1、【2018年高考全国Ⅱ理数】在 中， ， ， ，则 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为 所以 ，故选A. 解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理，结合已知条件，灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的. 变式2、【2018年高考全国Ⅲ理数】 的内角 的对边分别为 ， ， ，若 的面积为 ，则 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题可知 ，所以 ， 由余弦定理 ，得 ，因为 ，所以 ，故选C. 变式3、（2020届山东实验中学高三上期中）在 中， 分别为内角 的对边，若 ，且 ，则 __________． 【答案】4 【解析】已知等式 ，利用正弦定理化简得： ， 可得 ， ，可解得 ， 余弦定理可得， EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ， 可解得 ， 故答案为 . 变式4、（2020届山东省泰安市高三上期末）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为 ，若 ， ，则 ______． 【答案】4 【解析】∵ ， ∴由正弦定理得 ， ∴ ，又 ， ∴由余弦定理得 ， ∴ ，∵ 为 的内角，∴ ， ∴ ，∴ ，故答案为：4． 题型二、 运用余弦定理研究范围问题 知识点拨：余弦定理主要有变求角，经常与不等式结合求角的范围。解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求最值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值. 例2、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ． （1）求B； （2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围． 【解析】（1）由题设及正弦定理得 ． 因为sinA 0，所以 ． 由 ，可得 ，故 ． 因为 ，故 ， 因此B=60°． （2）由题设及（1）知△ABC的面积 ． 由正弦定理得 ． 由于△ABC为锐角三角形，故0°<A<90°，0°<C<90°， 由（1）知A+C=120°，所以30°<C<90°，故 ， 从而 ． 因此，△ABC面积的取值范围是 ． 变式1、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）在 中，角 ，