专题11 三角形中的三角问题的探究-2021年高考数学二轮优化提升专题训练（新高考地区专用）【学科网名师堂】

专题11 三角形中的三角问题的探究 【知识框图】 【自主热身，归纳总结】 1、（2020届山东实验中学高三上期中）在 中，若 ，则 =（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】余弦定理 将各值代入 得 解得 或 (舍去)选A. 2、（2020届浙江省宁波市余姚中学高考模拟）在 中，“ ”是“ 为钝角三角形”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由题意可得，在 中，因为 ， 所以 ，因为 ， 所以 ， ， 结合三角形内角的条件，故A,B同为锐角，因为 ， 所以 ，即 ，所以 ， 因此 ，所以 是锐角三角形，不是钝角三角形， 所以充分性不满足， 反之，若 是钝角三角形，也推不出“ ，故必要性不成立， 所以为既不充分也不必要条件，故选D. 3、【2019年高考浙江卷】在 中， ， ， ，点 在线段 上，若 ，则 ___________， ___________． 【答案】 ， 【解析】如图，在 中，由正弦定理有： ，而 ， ， ，所以 . . 4、（2020届浙江省十校联盟高三下学期开学）如图，在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ， ，则 ______，点 为边 上一点，且 ，则 的面积为______. 【答案】 10 【解析】因为 ， ， ， 由正弦定理可得： ， 所以 ， 则 ； ， ， 由余弦定理可得： ， 解可得 （舍 或 ，所以 ， ．故答案为： ，10． 5、（2020届山东师范大学附中高三月考）泉城广场上矗立着的“泉标”，成为泉城济南的标志和象征．为了测量“泉标”高度，某同学在“泉标”的正西方向的点A处测得“泉标”顶端的仰角为 ，沿点A向北偏东 前进100 m到达点B，在点B处测得“泉标”顶端的仰角为 ，则“泉标”的高度为（ ） A．50 m B．100 m C．120 m D．150 m 【答案】A 【解析】如图, 为“泉标”高度,设高为 米，由题意, 平面 , 米, ， ． 在 中, ,在 中, , 在 中, ，, ， , 由余弦定理可得 ， 解得 或 (舍去), 故选：B. 【问题探究，变式训练】 题型一 正余弦定理在三角形中的运用 知识点拨：正余弦定理主要就是研究三角形综合的边与角的问题，许多题目中往往给出多边形，因此，就要根据题目所给的条件，标出边和角，合理的选择三角形，尽量选择边和角都比较多的条件的三角形，然后运用正余弦定理解决。 例1、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1， ，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=______________. 【答案】 【解析】 ， ， ， 由勾股定理得 ， 同理得 ， ， 在 中， ， ， ， 由余弦定理得 ， ， 在 中， ， ， ， 由余弦定理得 . 故答案为： . 变式1、(2018南通、扬州、淮安、连云港二调）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝4，点D在边BC上，∠BAD＝45°，则tan∠CAD的值为________． 【答案】eq \f(8＋\r(15),7)　 【解析】、 从构造角的角度观察分析，可以从差的角度(∠CAD＝∠A－45°)，也可以从和的角度(∠A＝∠CAD＋45°)，所以只需从余弦定理入手求出∠A的正切值，问题就迎刃而解了． 解法1 在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝4，由余弦定理可得cosA＝eq \f(32＋22－42,2×3×2)＝－eq \f(1,4)，所以tanA＝－eq \r(15)，于是 tan∠CAD＝tan(A－45°)＝eq \f(tanA－tan45°,1＋tanAtan45°)＝eq \f(8＋\r(15),7). 解法2 由解法1得tanA＝－eq \r(15).由tan(45°＋∠CAD)＝－eq \r(15)得eq \f(tan45°＋tan∠CAD,1－tan45°tan∠CAD)＝－eq \r(15)，即eq \f(1＋tan∠CAD,1－tan∠CAD)＝－eq \r(15)，解得tan∠CAD＝eq \f(8＋\r(15),7). 变式2、（2020届浙江省高中发展共同体高三上期末）在 中， ， 的平分线交边 于 .若 . ，则 ___________. 【答案】 【解析】 中，由正弦定理可得， ，所以 ， 为 的平分线即 ， . 故答案为： . 变式3、【2020年高考江苏】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ． （1）求 的值； （2）在边BC上取一点D，使得 ，求 的值． 【解析】（1）在 中，因为 ， 由余弦定理