【新教材】6.1 平面向量的概念 学案-吉林省长春市第八中学高中数学人教A版（2019版）必修第二册

 

6．1　平面向量的概念

 

【新知初探】

要点一　向量的概念

数学中，我们把既有      ，又有     的量叫做向量，而把那些                   的量(如年龄、身高、体积等)称为数量．

注意：①向量的两个要素：大小和方向，缺一不可．解题时，注意从两个要素出发考虑问题．

②数量之间可以比较大小，而两个向量不能比较大小．

思考　已知下列各量：

①力；②功；③速度；④质量；⑤温度；⑥位移；⑦加速度；⑧重力；⑨路程；⑩密度．

其中是数量的有________________，是向量的有________________．

要点二　向量的表示方法

(1)向量的几何表示：向量可以用一条有向线段表示．带有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：     、     、      ，如图所示．

以A为起点、B为终点的有向线段记作.

(2)向量的字母表示：向量可以用字母a, b, c，…，表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用， ， )．

(3)向量的大小：也就是向量的长度(或称模)，即有向线段的长度，记作||.      的

向量叫做零向量，记作0；                的向量，叫做单位向量．

思考　在同一平面内，把所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是________．

要点三　相等向量与共线向量

(1)相等向量：        且            的向量叫做相等向量．

(2)平行向量：方向           的        向量叫做平行向量．

①记法：向量a平行于b，记作a∥b.

②规定：零向量与           行．

(3)共线向量：由于任意一组平行向量都可移动到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量．也就是说，平行向量与共线向量是等价的，因此要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆．

思考　向量平行具备传递性吗？

【题型通关】

题型一　向量的基本概念

例1　判断下列命题是否正确，并说明理由．

①若a≠b，则a一定不与b共线；

②若＝，则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点；

③在平行四边形ABCD中，一定有＝；

④若向量a与任一向量b平行，则a＝0；

⑤若a＝b，b＝c，则a＝c；⑥若a∥b，b∥c，则a∥c.

 

 

 

 

 

 

 

 

跟踪训练1　下列说法正确的有________．

(1)若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；

(2)向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在同一条直线上；

(3)向量与是平行向量；

(4)任何两个单位向量都是相等向量．

题型二　向量的表示及应用

例2　在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：

(1)，使||＝4，点A在点O北偏东45°方向上；

(2)，使||＝4，点B在点A正东方向上；

(3)，使||＝6，点C在点B北偏东30°方向上．

 

 

 

 

 

 

跟踪训练2　在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.

(1)试以B为终点画一个向量b，使b＝a；

(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|＝，并说出向量c的终点的轨迹是什么？

                                                     

 

 

 

题型三　平行向量与共线向量

例3　如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且＝a，＝b，在每两点所确定的　　

　　向量中．

(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？

(2)与a共线的向量有哪些？

 

 

 

 

 

 

 

 

跟踪训练3　如图，已知四边形ABCD为▱ABCD，则

(1)与的模相等的向量有多少个？

(2)与的模相等，方向相反的向量有哪些？

(3)写出与共线的向量．