2.3二次函数与一元二次方程、不等式-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修一同步讲义

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 SHAPE \* MERGEFORMAT 1、一元二次不等式的概念 （1）只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的不等式叫做一元二次不等式． 如：不等式2x2－x＋1＞0是一元二次不等式． （2）使一元二次不等式成立的未知数的取值范围叫一元二次不等式的解集． （3）一元二次不等式经过变形，可化成以下两种标准形式： ①ax2＋bx＋c＞0(a＞0)； ②ax2＋bx＋c＜0(a＞0)． 设二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac，则： （1）Δ＞0时，方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的解x1，x2，设x1＜x2，则不等式①的解集为{x|x<x1或x>x2}， 不等式②的解集为{x|x1<x<x2}． （2）Δ＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的解，即x1＝x2，此时不等式①的解集为{x|x≠x1}，不等式②的解集为∅． （3）Δ＜0时，方程ax2＋bx＋c＝0无实数解，不等式①的解集为R，不等式②的解集为∅． 2、三个“二次” 二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集三者之间的关系(如下表)： Δ＝b2－4ac 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 方程 ax2＋bx＋c＝0 解的情况 ax2＋bx＋c ＞0(a＞0) 的解集 ax2＋bx＋c ＜0(a＞0) 的解集 Δ＞0 有两相异实 根x1，x2 {x|x＞x2，或x＜x1} {x|x1＜x＜x2} Δ＝0 有两相等 实根x0 {x|x≠x0} ∅ Δ＜0 没有实根 R ∅ 3、含参数的一元二次不等式的解法 （1）两边同除或同乘含参的式子时，应讨论含参的式子的符号． 如：当a＞0时，关于x不等式ax＞a2的解是x＞a；当a＜0时，关于x不等式ax＞a2的解是x＜a． （2）解含参数的一元二次不等式时，先求相应二次方程的根，比较根的大小后，再根据相应二次函数的图象写出不等式的解集． 如：当a＞0时，关于x不等式x2－ax＞0的解是x＜0或x＞a；当a＜0时，关于x不等式x2－ax＞0的解是x＜a或x＞0． 题型一 一元二次不等式的求解 例1　不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 1、不等式 的解集是（ ） A． 或 B． 或 C． D． 【答