第8讲不等式证明-【新教材】沪教版（2020）高中数学必修第一册练习（中档）

不等式证明 1．已知对于正数、，存在一些特殊的形式，如：、、等. （1）判断上述三者的大小关系，并证明； （2）定义：间距，间距，判断两者的大小关系，并证明. 2．若实数、、满足，则称比接近. （1）若比接近，求的取值范围； （2）对于任意的两个不等正数、，判断并证明和哪个更接近. 3．已知，. （1）求证：； （2）若，求ab的最小值. 4．“，，求证：”除了用比较法证明外，还可以有如下证法：（当且仅当时等号成立），∴. 学习以上解题过程，尝试解决下列问题： （1）证明：若，，，则，并指出等号成立的条件； （2）试将上述不等式推广到（）个正数、、、、的情形，并证明. 5．问题：正数、满足，求的最小值. 其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号. 学习上述解法并解决下列问题： （1）若实数、、、满足，试比较和的大小，并指明等号成立的条件； （2）利用（1）的结论，求函数的值域. 参考答案 1．（1）；证明见解析；（2），证明见解析. 【分析】 （1）作差法，判断差的符号，可得证； （2）由（1）和基本不等式可得，可得证. 【详解】 （1），证明如下： 因为， 又、是正数，所以，所以， 当且仅当时，取等号， 故； 因为，当且仅当时，取等号， 所以； 故. （2）因为、是正数，所以 ， 当仅且当，即时取等号. 所以， 所以，所以. 【点睛】 本题考查运用作差法证明不等式，基本不等式的应用，属于中档题. 2．（1）；（2）比接近，证明见解析. 【分析】 （1）由题中定义得出，解出该不等式即可； （2）利用基本不等式可得出且，然后作差比较与的大小关系，由此可得结论. 【详解】 （1）由题意得：，则或， 由，即，求得或； 由，即，求得无解. 所以取值范围为； （2）因为、且，所以，且， 所以， 则，即比接近. 【点睛】 本题考查新定义，涉及绝对值不等式的求解以及利用作差法比较代数式的大小，解题的关键就是利用题中的新定义得出不等关系，考查推理能力以及运算求解能力，属于中等题. 3．（1）证明见解析；（2）1. 【分析】 （1）对不等式两边式子作差，分解因式，判断作差的结果的符号，可得证. （2）根据，可得，从而得到，进而求得，注意等号成立的条件，得到结果. 【详解】 证明：（1）∵， ∴. （2）∵，， ∴，即， ∴，∴. 当且仅当时取等号，此时ab取最小值1. 【点睛】