专题01 空间向量与立体几何（知识点串讲）-2020-2021学年高二上学期数学期末考点大串讲（新教材人教A版）（串讲篇）

专题01 空间向量与立体几何 知识网络 重难点突破 知识点一 空间向量的概念、性质与运算 1、空间向量及其有关概念 概念 语言描述 共线向量(平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合 共面向量 平行于同一个平面的向量 共线向量定理 对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb 共面向量定理 若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb 空间向量基本定理及推论 定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc. 推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使eq \o(OP,\s\up7(―→))＝xeq \o(OA,\s\up7(―→))＋yeq \o(OB,\s\up7(―→))＋zeq \o(OC,\s\up7(―→))且x＋y＋z＝1 2. 数量积及坐标运算 (1)两个空间向量的数量积：①a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；②a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)；③设a＝(x，y，z)，则|a|2＝a2，|a|＝eq \r(x2＋y2＋z2). (2)空间向量的坐标运算： a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) 向量和 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 向量差 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 共线 a∥b⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R，b≠0) 垂直 a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 夹角公式 cos〈a，b〉＝eq \f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3))) 3. 直线的方向向量与平面的法向量 (1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或或共线，则称此向量a为直线l的方向向量． (2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量． 4. 空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 l1∥l2 n1∥n2⇔n1＝kn2(k∈R) l1⊥l2 n1⊥n2⇔n1·n2＝0 直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m l∥α n⊥m⇔n·m＝0 l⊥α n∥m⇔n＝km(k∈R) 平面α，β的法向量分别为n，m α∥β n∥m⇔n＝km(k∈R) α⊥β n⊥m⇔n·m＝0 5．证明空间任意三点共线的方法 对空间三点P，A，B可通过证明下列结论成立来证明三点共线： (1)eq \o(PA,\s\up7(―→))＝λeq \o(PB,\s\up7(―→)) (λ∈R); (2)对空间任一点O，eq \o(OP,\s\up7(―→))＝eq \o(OA,\s\up7(―→))＋teq \o(AB,\s\up7(―→)) (t∈R)； (3)对空间任一点O，eq \o(OP,\s\up7(―→))＝xeq \o(OA,\s\up7(―→))＋yeq \o(OB,\s\up7(―→)) (x＋y＝1)． 6．证明空间四点共面的方法 对空间四点P，M，A，B除空间向量基本定理外也可通过证明下列结论成立来证明四点共面： (1) eq \o(MP,\s\up7(―→))＝xeq \o(MA,\s\up7(―→))＋yeq \o(MB,\s\up7(―→))； (2)对空间任一点O，eq \o(OP,\s\up7(―→))＝eq \o(OM,\s\up7(―→))＋xeq \o(MA,\s\up7(―→))＋yeq \o(MB,\s\up7(―→))； (3) eq \o(PM,\s\up7(―→))∥eq \o(AB,\s\up7(―→)) (或eq \o(PA,\s\up7(―→))∥eq \o(MB,\s\up7(―→))或eq \o(PB,\s\up7(―→))∥eq \o(AM,\s\up7(―→)) )． 例1. （广东佛山一中2019届期中）平面α的法向量为(1，2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k等于(　　) A.2 B.－4 C.4 D.－2 例2. （黑龙江鹤岗一中2019届期末）如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，则OA与BC所