27.3 垂径定理（作业）-【上好课】2020-2021学年九年级数学下册同步备课系列（沪教版）

27.3 垂径定理（作业） 一、单选题 1．（2020·上海崇明·初三一模）如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么这条圆弧所在的圆的圆心为图中的(　　) A．M B．P C．Q D．R 【答案】C 【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，分别作AB，BC的垂直平分线即可得到答案． 【详解】解：作AB的垂直平分线，作BC的垂直平分线，如图， 它们都经过Q，所以点Q为这条圆弧所在圆的圆心． 故选C． 【点睛】本题考查了垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．这也常用来确定圆心的方法． 2．（2020·上海市静安区实验中学）下列命题中，假命题是（ ） A．如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦； B．如果一条直线平分弦所对的两条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦； C．如果一条直线经过圆心，并且平分弦，那么该直线平分这条弦所对的弧，并且垂直于这条弦； D．如果一条直线经过圆心，并且垂直弦，那么该直线平分这条弦和弦所对的弧． 【答案】C 【分析】利用垂径定理及其推论逐个判断即可求得答案． 【详解】A．如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦，正确，是真命题； B．如果一条直线平分弦所对的两条弧，那么这条直线一定经过圆心，并且垂直于这条弦，正确，是真命题； C．如果一条直线经过圆心，并且平分弦，那么该直线不一定平分这条弦所对的弧，不一定垂直于这条弦，例如：任意两条直径一定互相平分且过圆心，但不一定垂直．错误，是假命题； D．如果一条直线经过圆心，并且垂直弦，那么该直线平分这条弦和弦所对的弧，正确，是真命题． 故选C． 【点睛】本题考查了垂径定理及其推论，对于一个圆和一条直线来说如果一条直线具备下列，①经过圆心，②垂直于弦，③平分弦（弦不是直径），④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧，五个条件中的任何两个，那么也就具备其他三个． 3．（2018·上海普陀·初三一模）如图，已知AB和CD是⊙O的两条等弦．OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为点M、N，BA、DC的延长线交于点P，联结OP．下列四个说法中： ①；②OM=ON；③PA=PC；④∠BPO=∠DPO，正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】如图连接OB、OD； ∵AB=CD， ∴=，故①正确 ∵OM⊥AB，ON⊥CD， ∴AM=MB，CN=ND， ∴BM=DN， ∵OB=OD， ∴Rt△OMB≌Rt△OND， ∴OM=ON，故②正确， ∵OP=OP， ∴Rt△OPM≌Rt△OPN， ∴PM=PN，∠OPB=∠OPD，故④正确， ∵AM=CN， ∴PA=PC，故③正确， 故选D． 二、填空题 4．（2018·上海静安·初三二模）如图，已知⊙O中，直径AB平分弦CD，且交CD于点E，如果OE=BE，那么弦CD所对的圆心角是_________度． 【答案】120． 【解析】连接OC， ∵直径AB平分弦CD， ∴AB⊥CD， ∵OE=BE， ∴OE=， 在Rt△OCE中，OE=， ∴cos∠COE=， ∴∠OEB=60°， ∴弦CD所对的圆心角是60°×2=120°. 故答案为120. 5．（2018·上海浦东新·）已知一个弓形所在圆的直径10厘米，弓形的高为2厘米，那么这个弓形的弦长为_____厘米． 【答案】8 分析：连接弓形所在圆的圆心及弓形弦的一端，过圆心作弓形弦的垂线，在构建的直角三角形中，可根据圆的半径和弓形的高求出弓形弦的弦心距，进而可根据勾股定理求出弓形的弦长． 详解：如图，弓形AB的高CD=2厘米，连接OA， Rt△OAD中，OA=5cm，OD=OC-CD=3cm， 根据勾股定理，得AD=4cm， 故AB=2AD=8cm． 即这个弓形的弦长是8厘米． 故答案为8. 点睛：本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 6．（2018·上海嘉定·中考模拟）已知弓形的高是1厘米，弓形的半径长是13厘米，那么弓形的弦长是_____厘米． 【答案】10 试题解析：如图， 过圆心O作OD⊥AB，交弧于C．则CD=1，连接OA． 在直角△AOD中，OA=13，OD=13-CD=12， 则AD==5， ∴AB=2AD=10． 故答案是：10． 7．（2019·上海嘉定·初三一模）如图，在圆O中，AB是弦，点C是劣弧AB的中点，连接OC，AB平分OC，连接OA、OB，那么∠AOB＝_____度． 【答案】120 【分析】连接AC．证明△AOC是等边三角形即可解决问题． 【详解】解：连接AC． ∵， ∴OC⊥AB，∠AOC＝∠BOC， ∵AB平分OC， ∴AB是线段OC的垂直平分线， ∴AO＝