专题2.2 切线长定理（备课堂）-【上好课】2020-2021学年九年级数学下册同步备课系列（浙教版）

2.2 切线长定理 * 问题1、经过平面上一个已知点，作已知圆的切线会有怎样的情形？ P · P· P· 问题2、经过圆外一点P，如何作已知⊙O的 切线？ ·O ·O ·O A O . A B P 思考：假设切线PA已作出，A为切点，则∠OAP=90°，连接OP，可知A在圆上 在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长. · O P A B 切线与切线长的区别与联系： （1）切线是一条与圆相切的直线； （2）切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长 若从⊙O外的一点引两条切线PA，PB，切点分别是A、B，连结OA、OB、OP，你能发现什么结论？并证明你所发现的结论 PA = PB ∠OPA=∠OPB 证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点 ∴OA⊥PA，OB⊥PB 即∠OAP=∠OBP=90° ∵ OA=OB，OP=OP ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL) ∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB 试用文字语言叙述你所发现的结论 A P O . B PA、PB分别切⊙O于A、B PA = PB ∠OPA=∠OPB 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 切线长定理 几何语言: 反思：切线长定理为证明线段相等、角相等提 供了新的方法 A P O . B A P O . B 若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明. OP垂直平分AB 证明：∵PA，PB是⊙O的切线，点A，B是切点 ∴PA = PB ∠OPA=∠OPB ∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线 ∴OP垂直平分AB M . P B A O （3）连结圆心和圆外一点 （2）连结两切点 （1）分别连结圆心和切点 反思：在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形. 例1 如图2-13，点O是 所在圆的圆心，AC，BC分别与⊙O相切于点A，B.已知∠ACB=80°，OC=100cm．求点C到O的切线长（结果精确到1cm). 解 如图2-13，连结OA，OB. ∵AC，BC分别与⊙O相切于点A，B， ∴AC=BC（过圆外一点所作的圆的两条切线长相等）. 又∵OA=OB，OC=OC， ∴△OAC≌△OBC. ∴∠ACO=∠BCO= 在Rt△OAC中，∠OAC=90°（为什么？)， ∴AC=OC×cos40°=100×cos40°≈77(cm). 答：点C到⊙O的切线长约为77cm. 例2 如图2-14， ⊙O表示皮带传动装置的一个轮子，传动皮带MA，NB分别切⊙O于点A，B．延长MA，NB，相交于点P．已知∠APB=60°，AP＝24cm，求两切点间的距离和 的长（精确到1cm). 解 如图2-15，连结AB，OA，OB，OP． ∵MP，NP分别切⊙O于点A，B， ∴OA⊥AP，OB⊥BP，AP=BP(为什么?). 又∵∠APB=60°， ∴△ABP为等边三角形， ∴AB=AP=24cm. ∵OA=OB， ∴OP平分∠APB， ∴∠OPA=30°， ∴OA=AP×tan30°= 而∠AOB=360°-2×90°-60°=120°， 答：两切点间的距离为24cm， 的长约为29cm. 证明：∵PA，PB，CD都是⊙O的切线， ∴PA=PB，CQ=CA，DQ=DB. ∴△PCD的周长 =PC+PD+CD =PC+PD+CQ+DQ =PC+PD+CA+DB =PA+PB=2PA. 已知：如图，过点P的两条直线分别与⊙O相切于点A，B，Q为劣弧 上异于点A，B的任意一点，过点Q的切线分别与切线PA，PB相交于点C，D. 求证：△PCD的周长等于2PA. 我们学过的切线，常有 性质： 1、切线和圆只有一个公共点； 2、切线和圆心的距离等于圆的半径； 3、切线垂直于过切点的半径； 4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点； 5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心； 6、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角. 六个 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角. 切线长定理 过圆外的一点作圆的切线，可以作出几条切线？ 问题： 过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长. O P A B O P A B ∟ ∟ M 根据你的直观判断，猜想图中PA是否等于PB？∠1与