1.3.2 补集及综合应用-2020-2021学年高中数学必修第一册新课标辅导【精讲精练】人教A版（word）

第2课时　补集及综合应用 学业标准 学科素养 1.了解全集的含义及其符号表示. 2.理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集.(重点) 3.会用Venn图、数轴进行集合的运算.(重点) 1.借助补集的学习，提升数学抽象、直观想象核心素养. 2.通过全集与补集的关系的运用，培养直观想象逻辑推理素养. [教材梳理] ◇导学　全集与补集 [问题1]　方程(x－2)(x2－3)＝0的解集在有理数范围内与在实数范围内有什么不同？通过这个问题你得到什么启示？ [提示]　方程在有理数范围内的解集为{2}，在实数范围内的解集为{2，，－}，数学学科中很多问题都是在某一范围内进行研究.如本问题中在有理数范围内求解与在实数范围内求解是不同的.类似这些给定的集合就是全集. [问题2]　若集合U＝{x|x是高一一班同学}，A＝{x|x是高一一班参加足球队的同学}，B＝{x|x是高一一班没有参加足球队的同学}，则集合U，A，B有何关系？ [提示]　U＝A∪B，集合B是集合U中除去集合A之后余下来的集合. ◎结论形成 1.全集 (1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集. (2)记法：全集通常记作U. 2.补集 文字 语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁UA. 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}. [基础自测] 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数集问题的全集一定是R. (2)集合∁BC与∁AC相等. (3)A∩∁UA＝∅. (4)一个集合的补集中一定含有元素. 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2.(2020·淄博期末)已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，则∁UA＝ A.∅　　　　　　　 B. {1，3} C. {2，4，5} D. {1，2，3，4，5} 解析　因为全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}， 所以根据补集的定义得∁UA＝{2，4，5}，故选C. 答案　C 3.若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}∪{x|x≤0}，则∁UA＝________. 解析　∵A＝{x|x≥1}∪{x|x≤0}， ∴∁UA＝{x|0＜x＜1}. 答案　{x|0＜x＜1} 4.设全集U＝R，集合A＝{x|x≥0}，B＝{y|y≥1}，则∁UA与∁UB的包含关系是________. 解析　先求出∁UA＝{x|x<0}，∁UB＝{y|y<1}＝{x|x<1}.∴∁UA⊆∁UB. 答案　∁UA⊆∁UB 题型一　补集运算 [例1]　已知全集U，集合A＝{x|2<x≤3}，∁UA＝{x|x>3}，B＝{x|4≤x＜6}，求∁UB. [自主解答]　因为A＝{x|2<x≤3}，∁UA＝{x|x>3}，如数轴： 所以U＝A∪(∁UA)＝{x|x>2}. 所以∁UB＝{x|2<x<4或x≥6}. [规律方法] 1.解答本题，依据A∪(∁UA)＝U，求全集U是关键环节. 2.求补集运算， 一是利用补集定义或性质；二是借助于Venn图或数轴来求解. [触类旁通] 1.已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜1或x＞2}，集合B＝{x|x＜－3或x≥1}，求∁RA，∁RB. 解析　借助数轴，由图可知： ∁RA＝{x|1≤x≤2}，∁RB＝{x|－3≤x＜1}. 题型二　交、并、补的综合运算 [例2]　设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，求∁R(A∪B)及(∁RA)∩B. [自主解答]　把全集R和集合A，B在数轴上表示如下： 由图知，A∪B＝{x|2<x<10}， ∴∁R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}， ∵∁RA＝{x|x<3或x≥7}， ∴(∁RA)∩B＝{x|2<x<3或7≤x<10}. [规律方法] 1.解决与不等式有关的集合问题时，画数轴(这也是集合的图形语言的常用表示方式)可以使问题变得形象直观，要注意求解时端点的值是否能取到. 2.解决集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分，如求(∁UA)∩B时，可先求出∁UA，再求交集；求∁U(A∪B)时，可先求出A∪B，再求补集. [触类旁通] 2.设全集U＝M∪N＝{1，2，3，4，5}，M∩∁UN＝{2，4}，则N＝ A.{1，2，3}　　　　　　 B.{1，3，5} C.{1，4，5} D.{2，3，4} 解析　画出Venn图， 阴影部分为M∩∁UN＝{2，4}，∴N＝{1，3，5}. 答案　B 题型三　根据补集运算求参数 [例3]　设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}，全集U＝R，且(∁UA)∩B＝∅，求实数m的取值范围. [自主解答]　解法一　(直接法) 由A＝{x|x＋m≥0