1.4.1 充分条件与必要条件-2020-2021学年高中数学必修第一册新课标辅导【精讲精练】人教A版（word）

　充分条件与必要条件 §1.4.1　充分条件与必要条件 学业标准 学科素养 1.理解充分条件、必要条件的概念. 2.了解充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系.(重点) 3.能通过充分性、必要性解决简单的问题.(难点) 1.通过充分条件与必要条件的学习，培养数学抽象核心素养. 2.借助充分条件与必要条件的应用，提升逻辑推理核心素养. [教材梳理] ◇导学　充分条件与必要条件 [问题1]　观察命题： (1)若整数a是素数，则a是奇数； (2)若两个三角形全等，则它们的面积相等. 上述命题的形式是怎样的？ [提示]　“若……，则……”的形式. [问题2]　在命题“若两个三角形全等，则它们的面积相等”中条件和结论分别是什么？ [提示]　条件是两个三角形全等，结论是两个三角形面积相等. [问题3]　必要条件与命题“若p，则q”的真假性有什么关系？ [提示]　当命题“若p，则q”为真命题时，q是p的必要条件. [问题4]　若p是q的充分条件，这样的条件p唯一吗？ [提示]　不唯一.例如“x>1”是“x>0”的充分条件，p可以是“x>2”“x>3”或“2<x<3”等. [问题5]　如何理解充分条件必要条件中的“充分”和“必要”？ [提示]　“充分”即条件充分，有充足的理由；“必要”即必须要有，缺之不可. ◎结论形成 命题真假 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q pq 条件关系 p是q的充分条件； q是p的必要条件 p不是q的充分条件； q不是p的必要条件 定理关系 判定定理给出了结论成立的充分条件； 性质定理给出了结论成立的必 要条件 [基础自测] 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“x＝3”是“x2＝9”的充分条件 (2)若p是q的必要条件，则q是p的充分条件. (3)“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件. 答案　(1)√　(2)√　(3)× 2.下面四个条件中，使a＞b成立的充分条件是 A.a＞b＋1　　　　　 B.a＞b－1 C.a2＞b2 D.a＋1＞b 解析　“p的充分条件是q”即“q是p的充分条件”，亦即“q⇒p”，因为a＞b＋1⇒a＞b，故选A. 答案　A 3.已知A⊆B，则“x∈A”是“x∈B”的________条件. 答案　充分 4.若p：|x|＝|y|，q：x＝y，则p是q的________条件. 解析　∵x＝y⇒|x|＝|y|，即q⇒p， ∴p是q的必要条件. 答案　必要 题型一　充分条件的判断 [例1]　(1)下列各题中，p是q的充分条件的是________. ①p：(x－2)(x－3)＝0，q：x－2＝0； ②p：两个三角形相似，q：两个三角形全等； ③p：m＜－2，q：方程x2－x－m＝0无实根. (2)“a＞2，b＞2”是“a＋b＞4，ab＞4”的________条件. [自主解答]　(1)①∵(x－2)(x－3)＝0， ∴x＝2或x＝3，不能推出x－2＝0. ∴p不是q的充分条件. ②∵两个三角形相似，不能推出两个三角形全等， ∴p不是q的充分条件. ③∵m＜－2，∴12＋4m＜0，∴方程x2－x－m＝0无实根，∴p是q的充分条件. (2)由a＞2，b＞2⇒a＋b＞4，ab＞4， ∴是充分条件. [答案]　(1)③　(2)充分 [规律方法] 1.判定p是q的充分条件要先分清什么是p，什么是q，即转化成p⇒q问题. 2.除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B，A⊆B，则p是q的充分条件. [触类旁通] 1.(多选题)下列不等式中，可以是x2＜1的一个充分条件的是 A.x＜1　　　　　　　 B.0＜x＜1 C.－1＜x＜0 D.－1＜x＜1 解析　由于x2＜1即－1＜x＜1，①显然不能使－1＜x＜1一定成立，B、C、D满足题意. 答案　BCD 题型二　必要条件的判断 [例2]　在以下各题中，分析p与q的关系： (1)p：x＞2且y＞3，q：x＋y＞5； (2)p：一个四边形的四个角都相等，q：四边形是正方形. [自主解答]　(1)由于p⇒q，故p是q的充分条件，q是p的必要条件. (2)由于q⇒p，故q是p的充分条件，p是q的必要条件. [规律方法] 1.判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；若p⇒q为真，则p是q的充分条件，若q⇒p为真，则p是q的必要条件. 2.也可利用集合的关系判断，已知条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”.若A⊇B，则甲是乙的必要条件. [触类旁通] 2.分析下列各项中p与q的关系. (1)p：α为锐角，q：α＝45°； (2)p：(x＋1)(x－2)＝0，q：x＋1＝0. 解