1.4.2 充要条件-2020-2021学年高中数学必修第一册新课标辅导【精讲精练】人教A版（word）

§1.4.2　充要条件 学业标准 学科素养 1.理解充要条件的意义. 2.会判断一些简单的充要条件问题.(重点) 3.能对充要条件进行证明.(难点) 1.借助充要条件概念的学习，提升数学抽象核心素养. 2.通过充要条件的应用，培养逻辑推理核心素养. [教材梳理] ◇导学　充要条件 [问题1]　若p是q的充分条件，则A是B的真子集吗？ [提示]　不一定，A⊆B.充分条件包括充分必要条件和充分不必要条件. [问题2]　若“x∈A”是“x∈B”的充要条件，则A与B的关系怎样？ [提示]　A＝B. [问题3]　如何证明“p是q的充要条件”？ [提示]　证明“p是q的充要条件”即证明命题“若p，则q”和“若q，则p”都是真命题. ◎结论形成 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q. 此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件. [基础自测] 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“x＝0”是“(2x－1)x＝0”的充分不必要条件. (2)q是p的必要条件时，p是q的充分条件. (3)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题.(4)q不是p的必要条件时，“pq”成立. 答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)√ 2.“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的 A.充分不必要条件　　　　 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　当x＝0时，显然(2x－1)x＝0；当(2x－1)x＝0时，x＝0或x＝，所以“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的必要不充分条件. 答案　B 3.已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　对于“a>0且b>0”可以推出“a＋b>0且ab>0”，反之也是成立的. 答案　C 4.从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”中，选出适当的一种填空： (1)a＋b＝0是a2＋b2＝0的________； (2)x＝1或x＝2是x2－3x＋2＝0的________. 解析　(1)∵a＋b＝0⇒a＝－ba2＋b2＝0， a2＋b2＝0⇒a＝0且b＝0⇒a＋b＝0， ∴a＋b＝0是a2＋b2＝0的必要不充分条件. (2)∵x＝1或x＝2⇔x2－3x＋2＝0， ∴x＝1或x＝2是x2－3x＋2＝0的充要条件. 答案　(1)必要不充分条件　(2)充要条件 题型一　充分、必要、充要条件的判断 [例1]　指出下列各组命题中，p是q的什么条件(充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分又不必要条件). (1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除； (2)p：x＞1，q：x2＞1； (3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形； (4)p：|ab|＝ab，q：ab＞0. [自主解答]　(1)∵p⇒q，q不能推出p， ∴p是q的充分不必要条件. (2)∵p⇒q，q不能推出p， ∴p是q的充分不必要条件. (3)∵p不能推出q，q⇒p， ∴p是q的必要不充分条件. (4)∵ab＝0时，|ab|＝ab， ∴“|ab|＝ab”不能推出“ab＞0”，即p不能推出q. 而当ab＞0时，有|ab|＝ab，即q⇒p. ∴p是q的必要不充分条件. [规律方法] 判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假. (2)集合法：即利用集合的包含关系判断. (3)等价法：即利用p⇔q与q⇔p的等价关系判断.一般地，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法. (4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性. [触类旁通] 1.下列各题中，p是q的什么条件(充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要条件)? (1)p：四边形对角线互相平分，q：四边形是矩形； (2)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝； (3)p：m＞0，q：方程x2＋x－m＝0有实根. 解析　(1)∵四边形对角线互相平分四边形是矩形；四边形是矩形⇒四边形对角线互相平分，∴p是q的必要不充分条件. (2)∵x＝1或x＝2⇒x－1＝， x－1＝⇒x＝1或x＝2，∴p是q的充要条件. (3)∵m＞0⇒方程x2＋x－m＝0的Δ＝1＋4m＞0，即方程有实根；方程x2＋x－m＝0有实根，即Δ＝1＋4m≥0m＞0，∴p是q的充分不必要条件. 题型二　充要条件的证明 [例2]　求证：关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负根的充要条件是a≤1. [自主解答]