1.5.1 全称量词与存在量词-2020-2021学年高中数学必修第一册新课标辅导【精讲精练】人教A版（word）

　全称量词与存在量词 §1.5.1　全称量词与存在量词 学业标准 学科素养 1.理解全称量词、全称量词命题的定义. 2.理解存在量词、存在量词命题的定义. 3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假.(重点、难点) 1.通过全称量词与存在量词的学习，培养数学抽象核心素养. 2.借助全称量词命题和存在量词命题的应用，提升逻辑推理数学运算核心素养. [教材梳理] ◇导学　全称量词和存在量词 [问题1]　判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的关键是什么？ [提示]　判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的关键是看该命题是否含有全称量词或存在量词. [问题2]　如何判定一个全称量词命题的真假？ [提示]　要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定一个全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”). [问题3]　如何判定一个存在量词命题的真假？ [提示]　要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，找到一个x，使p(x)成立即可；否则，这一存在量词命题就是假命题. ◎结论形成 全称量词 存在量词 量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个 符号 ∀ ∃ 命题 含有全称量词的命题是全称量词命题. 含有存在量词的命题是存在量词命题. 命题 形式 “对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)”. “存在M中的一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”. [基础自测] 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有的质数是奇数. (2)∀x∈R，x2＋1≥1. (3)对每一个无理数x，x2也是无理数. (4)所有的能被5整除的整数，其末位数字都是5. 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2.命题“∃x∈R，x2>3”不可以表述为 A.有一个x∈R，使得x2>3 B.对有些x∈R，使得x2>3 C.任选一个x∈R，使得x2>3 D.至少有一个x∈R，使得x2>3 解析　本题主要考查存在量词命题.“∃”是存在量词符号，与“有一个”、“有些”、“至少有一个”表示的含义相同，但是“任选一个”是全称量词，所以C的表述不正确，故选C. 答案　C 3.下列命题，是全称量词命题的是________，是存在量词命题的是________(填序号). ①正方形的四条边相等； ②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形； ③正数的平方根不等于0； ④至少有一个正整数是偶数. 解析　①②③是全称量词命题，④是存在量词命题. 答案　①②③　④ 4.命题p：∃x∈R，x2＋2x＋5<0是________(填“全称量词命题”或“存在量词命题”)，它是________命题(填“真”或“假”). 答案　存在量词命题　假 题型一　全称量词命题与存在量词命题的辨析 [例1]　(1)下列语句不是存在量词命题的是 A.有的无理数的平方是有理数 B.有的无理数的平方不是有理数 C.对于任意x∈Z，2x＋1是奇数 D.存在x∈R，2x＋1是奇数 (2)(多选题)给出下列几个选项中，全称量词命题有 A.至少有一个x，使x2＋2x＋1＝0成立 B.对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0成立 C.对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0不成立 D.存在x，使x2＋2x＋1＝0成立 [自主解答]　(1)因为“有的”“存在”为存在量词，“任意”为全称量词，所以选项A，B，D均为存在量词命题，选项C为全称量词命题. (2)因为“至少有一个”“存在”是存在量词，“任意的”为全称量词，所以A、D为存在量词命题，B、C为全称量词命题. [答案]　(1)C　(2)BC [规律方法] 判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路 [触类旁通] 1.下列命题中全称量词命题的个数为 ①平行四边形的对角线互相平分； ②梯形有两边平行； ③存在一个菱形，它的四条边不相等. A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.3 解析　①②是全称量词命题，③是存在量词命题. 答案　C 题型二　全称量词命题与存在量词命题的真假判断 [例2]　判断下列命题的真假. (1)∃x∈Z，使得x3＜1； (2)存在一个四边形不是平行四边形； (3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P； (4)∀x∈N，有x2>0. [自主解答]　(1)因为－1∈Z，且(－1)3＝－1＜1， 所以“∃x∈Z，x3＜1”是真命题. (2)真命题，如梯形. (3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题. (4)因为0∈N，02＝0，所以命题“∀x∈N，x2>0