1.5.2 全称量词命题与存在量词命题的否定-2020-2021学年高中数学必修第一册新课标辅导【精讲精练】人教A版（word）

§1.5.2　全称量词命题与存在量词命题的否定 学业标准 学科素养 1.通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律. 2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.(重点) 1.通过全称量词命题与存在量词命题的否定的学习，培养数学抽象核心素养. 2.借助全称量词命题和存在量词命题否定的应用，提升逻辑推理数学运算核心素养. [教材梳理] ◇导学　含量词的命题的否定 [问题]　如何写出一个含有量词的命题的否定？ [提示]　一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论. ◎结论形成 p 綈p 结论 全称量词命题：∀x∈M，p(x) ∃x∈M，綈p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题. 存在量词命题：∃x∈M，p(x) ∀x∈M，綈p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题. [基础自测] 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词. (2)全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”. (3)全称命题一定含有全称量词，存在量词命题一定含有存在量词. (4)∃x∈M，p(x)与∀x∈M，綈p(x)的真假性相反. (5)从存在量词命题的否定看，是对“量词”和“p(x)”同时否定. 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)× 2.命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是 A.∀x∈R，|x|＋x2<0 　 B.∀x∈R，|x|＋x2≤0 C.∃x∈R，|x|＋x2<0 D.∃x∈R，|x|＋x2≥0 解析　条件∀x∈R改成∃x∈R，结论“|x|＋x2≥0”的否定是“|x|＋x2<0”. 答案　C 3.关于命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的叙述，正确的是 A.綈p：∃x∈R，x2＋1≠0 B.綈p：∀x∈R，x2＋1＝0 C.p是真命题，綈p是假命题 D.p是假命题，綈p是真命题 解析　命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的否定是“∃x∈R，x2＋1＝0”.所以p是真命题，綈p是假命题. 答案　C 4.命题“同位角相等”的否定为________. 解析　全称量词命题的否定是存在量词命题.故否定为：有的同位角不相等. 答案　有的同位角不相等 题型一　全称量词命题的否定 [例1]　写出下列命题的否定，并判断其真假： (1)p：不论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0必有实根； (2)p：∀x∈R，x2＋2>0. [自主解答]　(1)綈p：存在一个实数m，使方程x2＋mx－1＝0没有实数根.因为该方程的判别式Δ＝m2＋4>0恒成立，故綈p为假命题. (2)綈p：∃x∈R，x2＋2≤0.綈p为假命题. [规律方法] 全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定綈p：∃x∈M，綈p(x)，即全称量词命题的否定是存在量词命题. [触类旁通] 1.写出下列命题的否定. (1)所有矩形都是平行四边形； (2)每一个素数都是奇数； (3)∀x∈R，都有x2－2x＋1≥0. 解析　(1)存在一个矩形不是平行四边形； (2)存在一个素数不是奇数； (3)∃x∈R，使得x2－2x＋1<0. 题型二　存在量词命题的否定 [例2]　写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假： (1)有些实数的绝对值是正数； (2)某些平行四边形是菱形； (3)∃x，y∈Z，使得x＋y＝3. [自主解答]　(1)命题的否定：“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也即“所有实数的绝对值都不是正数”.由于|－2|＝2，因此命题的否定为假命题. (2)命题的否定：“没有一个平行四边形是菱形”，也即“每一个平行四边形都不是菱形”.由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题. (3)命题的否定：“∀x，y∈Z，x＋y≠3”. ∵当x＝0，y＝3时，x＋y＝3， 因此命题的否定是假命题. [规律方法] 对存在量词命题进行否定时，首先把存在量词改为全称量词，然后对判断词进行否定，可以结合命题的实际意义进行表述. [触类旁通] 2.写出下列命题的否定. (1)有些实数的绝对值是正数； (2)某些三角形是正三角形； (3)∃x∈R，使得x＋1<0. 解析　(1)所有实数的绝对值都不是正数； (2)所有三角形都不是正三角形； (3)∀x∈R，x2＋1≥0. 题型三　存在量词命题、全称量词命题的综合应用 [例3]　已知命题“对于任意x∈R，x2＋ax＋1≥0”是假命题，求实数a的取值范围. [自主解答]　因为全称命题“对于任意x∈R，x2＋ax＋1≥0”的否定形式为：“存在x∈R，x2＋ax＋1<0”. 由“命题真，其否定假；命题假，其否定真