2.1 等式性质与不等式性质-2020-2021学年高中数学必修第一册新课标辅导【精讲精练】人教A版（word）

　等式性质与不等式性质 学业标准 学科素养 1.了解不等式的性质.(难点) 2.能利用不等式的性质比较数与式的大小. (重点) 3.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系. 4.了解重要不等式.(重点) 1.借助不等式的性质的学习，培养数学抽象核心素养. 2.通过数与式的大小比较，提升逻辑推理数学运算素养. [教材梳理] ◇导学1　基本事实 两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a<b. 依据 如果a>b⇔a－b>0； 如果a＝b⇔a－b＝0； 如果a<b⇔a－b<0. 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小. ◇导学2　重要不等式 [问题1]　我们把“风车”造型抽象成平面图形，如图所示，在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的长为a，b，那么正方形的边长为多少？面积为多少？4个直角三角形的面积和又是多少？ [提示]　，a2＋b2，2ab. [问题2]　根据4个直角三角形的面积和与正方形面积的大小关系，我们可得一个怎样的不等式？ [提示]　a2＋b2>2ab. [问题3]　存在4个直角三角形的面积和与正方形的面积相等的情况吗？何时相等？图形怎样变化？ [提示]　当直角三角形变成等腰直角三角形，即a＝b时，正方形EFGH变成一个点，这时有a2＋b2＝2ab. ◎结论形成 一般地，∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立. ◇导学3　不等式的性质 [问题1]　已知3>2，若两边同乘以2，不等式成立吗？若两边同乘以c(c为常数)，不等式成立吗？ [提示]　同乘以2，不等式成立；两边同乘以c，不等式不一定成立，当c＝0时，3c＝2c；当c>0时，3c>2c；当c<0时，3c<2c. [问题2]　如果a>b，那么a2>b2成立吗？ [提示]　不一定成立. [问题3]　对于不等式的性质，同向不等式是否相减也成立？ [提示]　不一定成立，例如5>3且4>1时，则5－4>3－1是错的. [问题4]　 同向不等式相除还成立吗？ [提示]　不一定成立，例如5>3且4>1，则>是错的. ◎结论形成 名称 式子表达 性质1(对称性) a>b⇒b<a 性质2(传递性) a>b，b>c⇒a>c 性质3(可加性) a>b⇒a＋c>b＋c 推论 a＋b>c⇒a>c－b 性质4(可乘性) a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc 性质5(不等式同向可加性) a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 性质6(不等式同向正数可乘性) a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 性质7(乘方性) a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) [基础自测] 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)实数a不大于－2，用不等式表示为a≥－2. (2)不等式x≥2的含义是指x不小于2. (3)若a<b或a＝b之中有一个正确，则a≤b正确. (4)若a＋c>b＋d，则a>b，c>d. 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2.大桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车货总重量T不超过40吨，用不等式表示为 A.T<40　　 B.T>40　　 C.T≤40　　 D.T≥40 解析　限重就是不超过，可以直接建立不等式T≤40. 答案　C 3.已知a>b，c>d，且cd≠0，则 A.ad>bc B.ac>bc C.a－c>b－d D.a＋c>b＋d 解析　a，b，c，d的符号未确定，排除A、B两项；同向不等式相减，结果未必是同向不等式，排除C项，故选D项. 答案　D 4.设M＝a2，N＝－a－1，则M，N的大小关系为________. 解析　M－N＝a2＋a＋1＝＋＞0， ∴M＞N. 答案　M＞N 题型一　用不等式表示不等关系 [例1]　(1)限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，用不等式如何表示？ (2)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，如何用不等式组表示上述关系？ [自主解答]　(1) v≤40. (2) [规律方法] 用不等式(组)表示不等关系的步骤 (1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、大于等. (2)适当地设未知数表示变量. (3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式. [触类旁通] 1.用不等式表示下列关系： (1)x为实数，而且大于1不大于6； (2)x与y的平方和不少于2且不大于10. 解析　(1)1<x≤6. (2)2≤x2＋y2≤10. 题型二　比较两个数(式)的大小 [例2]　已知a，b为正实数，试比较＋与＋的大小. [自主解答]　解法一　(