2.3.1 二次函数与一元二次方程、不等式-2020-2021学年高中数学必修第一册新课标辅导【精讲精练】人教A版（word）

　二次函数与一元二次方程、不等式 第1课时　二次函数与一元二次方程、不等式 学业标准 学科素养 1.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系，会解一元二次不等式.(重点) 2. 理解函数零点的概念. 3.了解含有参数的一元二次不等式的解法.(难点) 1.借助一元二次不等式及其解法的学习，提升直观想象核心素养. 2.通过一元二次方程与一元二次不等式的关系的应用，提升逻辑推理数学抽象核心素养. [教材梳理] ◇导学1　一元二次不等式的有关概念 [问题]　不等式x2－5x≤0是一个关于x的一元二次不等式，那么一元二次不等式有什么特点？ [提示]　含有一个未知数，且未知数的最高次数为2. ◎结论形成 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式称为一元二次不等式. 一般形式 ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0，其中a，b，c均为常数，a≠0 解集 使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫这个一元二次不等式的解集 ◇导学2　二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系 [问题1]　画出二次函数y＝x2－5x的图象，如图所示，思考下列问题： ①不等式x2－5x≤0的解集是什么？ ②不等式x2－5x>0的解集是什么？ [提示]　① {x|0≤x≤5}；② {x|x>5或x<0}. [问题2]　根据上述问题，你认为怎样确定一元二次不等式ax2＋bx＋c>0与ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集呢？ [提示]　可以由函数的零点与相应一元二次方程根的关系，先求出一元二次方程的根，再根据函数图象与x轴的相关位置确定一元二次不等式的解集. ◎结论形成 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等实根 x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 {x|x＜x1，或x＞x2} R ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ [基础自测] 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)不等式ax2－x－1＞0表示一个一元二次不等式. (2)不论实数a取什么值，不等式ax2＋bx＋c≥0的解集一定与相应方程ax2＋bx＋c＝0的解有关. (3)设二次方程f(x)＝0的两解为x1，x2，则一元二次不等式f(x)＞0的解集不可能为{x|x1＜x＜x2}. (4)不等式ax2＋bx＋c≤0(a≠0)或ax2＋bx＋c≥0(a≠0)的解集为空集，则函数f(x)＝ax2＋bx＋c无零点. 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2.不等式2x2－x－1>0的解集是 A. B.{x|x＞1} C.{x|x＜1，或x＞2} D. 解析　∵2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1)， ∴由2x2－x－1＞0得(2x＋1)(x－1)＞0， 解得x＞1或x＜－， ∴不等式的解集为. 答案　D 3.不等式x2－5x＋6≤0的解集为________. 解析　利用一元二次不等式的解法求解. ∵x2－5x＋6≤0，∴(x－2)(x－3)≤0. ∴2≤x≤3.∴不等式的解集为{x|2≤x≤3}. 答案　 {x|2≤x≤3} 4.若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a<0)的两个零点分别为－1和3，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集是________. 解析　根据二次函数的图象知所求不等式的解集为{x|x＜－1，或x＞3}. 答案　{x|x＜－1，或x＞3} 题型一　解一元二次不等式 [例1]　解下列不等式： (1)x2－8x＋15≥0； (2)－x2－2x＞－3； (3)－2x＞－3＋3x－3x2. [自主解答]　 (1)方程x2－8x＋15＝0的两根分别为x1＝3，x2＝5. 函数y＝x2－8x＋15的图象是开口向上的抛物线与x轴有两个交点(3，0)和(5，0)，(如图所示) 观察图象可知，不等式的解集为{x|x≤3或x≥5}. (2)原不等式可化为x2＋2x－3＜0. ∵(x＋3)(x－1)＜0， ∴由图象可得解集为{x|－3＜x＜1}. (3)原不等式移项整理得3x2－5x＋3＞0. ∵Δ＝(－5)2－4×3×3＝－11＜0， ∴方程3x2－5x＋3＝0无实根. 函数y＝3x2－5x＋3的图象是开口向上的抛物线，与x轴无交点. ∴原不等式的解集为R. [规律方法] 解一元二次不等式的一般步骤 [触类旁通] 1.解下列不等式： (1)x2－5x＞14； (2)－7x2＋7x＞6. 解析　(1)方程x2－5x－14＝0的两解是 x1＝－2，x2＝7， 函数y＝x2－5x－14的图象是开口向上的抛物线，