2.3.2 一元二次不等式的综合应用（习题课）-2020-2021学年高中数学必修第一册新课标辅导【精讲精练】人教A版（word）

第2课时　一元二次不等式的综合应用(习题课) 学业标准 学科素养 1.掌握简单的分式不等式的解法. 2.理解不等式恒成立问题.(难点) 3.会用一元二次不等式解决一些简单的实际问题.(难点) 1.通过一元二次不等式应用的学习，提升逻辑推理数学运算核心素养. 2.借助一元二次不等式的实际应用，培养数学建模核心素养. 题型一　解简单的分式不等式 [例1]　解下列不等式： (1)≥0； (2)>1. [自主解答]　(1)原不等式等价于 即⇒－2≤x<3. ∴原不等式的解集为{x|－2≤x<3}. (2)原不等式可化为－1>0，即<0. 等价于(3x－2)(4x－3)<0. ∴<x<. ∴原不等式的解集为. [规律方法] 解分式不等式一般先移项，使不等式的一端为零，再利用不等式的性质将其转化整式不等式(组)来解. [触类旁通] 1.已知关于x的不等式ax＋b>0的解集是{x|x＞1}，则关于x的不等式>0的解集是 A.{x|x＜－1或x＞2}　　　　 B.{x|－1＜x＜2} C.{x|1＜x＜2} D.{x|x＞2} 解析　依题意，a>0且－＝1. >0⇔(ax－b)(x－2)>0⇔(x－2)>0， 即(x＋1)(x－2)>0⇒x>2或x<－1. 答案　A 题型二　不等式中的恒成立问题 [例2]　设函数y＝mx2－mx－1. (1)若对于一切实数x，y<0恒成立，求m的取值范围； (2)对于x∈[1，3]，y<－m＋5恒成立，求m的取值范围. [自主解答]　(1)要使mx2－mx－1<0恒成立， 若m＝0，显然－1<0. 若m≠0，⇒－4<m<0. ∴－4<m≤0， 即m的取值范围是－4<m≤0. (2)解法一　要使y<－m＋5在x∈[1，3]上恒成立，就要使m＋m－6<0在1≤x≤3上恒成立. 令y2＝m＋m－6，1≤x≤3. 当m>0时，y2是增函数，∴y2在x＝3时有最大值7m－6<0， ∴0<m<；当m＝0时，－6<0恒成立； 当m<0时，y2是减函数， ∴y2在x＝1时有最大值m－6<0，得m<6.∴m<0. 综上所述，m的取值范围是m<. 解法二　当x∈[1，3]时，f(x)<－m＋5恒成立， 即当1≤x≤3时，m(x2－x＋1)－6<0恒成立. ∵x2－x＋1＝＋>0， 又m(x2－x＋1)－6<0，∴m<. ∵函数y＝＝在1≤x≤3上的最小值为， ∴只需m<即可. ∴m的取值范围是m<. [规律方法] 1.不等式ax2＋bx＋c>0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c>0；当a≠0时， 2.不等式ax2＋bx＋c<0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c<0；当a≠0时， 3.y≤a恒成立⇔a≥ymax，y≥a恒成立⇔a≤ymin. [触类旁通] 2.已知y＝x2＋2(a－2)x＋4. (1)如果对一切x∈R，y>0恒成立，求实数a的取值范围； (2)是否存在实数a，使得对任意x∈{x|－3≤x≤1}，y<0恒成立.若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由. 解析　(1)由题意可知， 只有当二次函数y＝x2＋2(a－2)x＋4与直角坐标系中的x轴无交点时，才满足题意， 则其相应方程x2＋2(a－2)x＋4＝0此时应满足Δ<0，即4(a－2)2－16<0，解得0<a<4. (2)若对任意x∈{x|－3≤x≤1}，y<0恒成立，则满足题意的函数y＝x2＋2(a－2)x＋4的图象如图所示. 由图象可知，此时a应该满足 解得 这样的实数a是不存在的，所以不存在实数a满足： 对任意x∈{x|－3≤x≤1}，y<0恒成立. 题型三　一元二次不等式的实际应用 [例3]　某物流公司购买了一块长AM＝30米，宽AN＝20米的矩形地块，计划如图中矩形ABCD建设为仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点C在地块对角线MN上，B，D分别在边AM，AN上，假设AB的长度为x米. (1)求矩形ABCD的面积S关于x的函数解析式； (2)要使仓库占地ABCD的面积不少于144平方米，则AB的长度应在什么范围内？ [自主解答]　(1)根据题意，得△NDC与△NAM相似， ∴＝，即＝， 解得AD＝20－x， ∴矩形ABCD的面积S关于x的函数为 S＝x(0＜x＜30)， 即S＝20x－x2(0＜x＜30). (2)要使仓库占地ABCD的面积不少于144平方米，即20x－x2≥144，化简得x2－30x＋216≤0. 解得12≤x≤18. ∴AB的长度取值范围为12≤x≤18. [素养聚焦]　通过一元二次不等式的实际应用，把数学建模等核心素养体现在解题过程中. [规律方法] 解不等式应用题，一般可按以下四步进行 (1)阅读理解、认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系； (2)引进数学符号