专题09 两角和与差的正弦、余弦、正切-2021年高考数学二轮优化提升专题训练（新高考地区专用）【学科网名师堂】

专题09 两角和与差的正弦、余弦、正切 【知识框图】 【自主热身，归纳总结】 1、（（2020届山东省潍坊市高三上期中） （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为 . 故选：B. 2、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知 ，且 ，则 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ，得 ， 即 ，解得 或 （舍去）， 又 . 故选：A． 3、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ， ， . 故选：A 4、（2020·武邑县教育局教研室高三上期末（理））已知 ，且 ，则 的值为（） A．-7 B．7 C．1 D．-1 【答案】B 【解析】 因为 ， 所以 ，即 ， 又 ， 则 ， 解得 = 7， 故选B. 5、【2020年高考浙江】已知 ，则 _______， _______． 【答案】 ； 【解析】 ， ， 故答案为： 6、（2020·浙江高三）若 ， ，则cosα＝_____，tan2α＝_____． 【答案】 ﹣2 【解析】∵ ， ， ∴cosα ，tanα ， ∴tan2α 2 ． 故答案为： ，﹣2 7、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知 ，则 的值为________． 【答案】 【解析】原式 ,又∵ ， ∴原式 ， 故答案为： . 8、（2020·全国高三专题练习（文））已知 ， ，则 ________. 【答案】 【解析】因为 ，所以 且 ，所以 ； 又 ， 所以 . 故答案为： . 【问题探究，变式训练】 题型一 运用公式进行化简、求值 知识点拨：本题考查三角函数的化简求值，要求熟练的掌握有关三角函数的公式以及公式的变形·渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法· 例1、【2020年高考全国Ⅲ卷理数】已知2tanθ–tan(θ+ )=7，则tanθ= A．–2 B．–1 C．1 D．2 【答案】D 【解析】 ， ， 令 ，则 ，整理得 ，解得 ，即 . 故选：D． 变式1、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知α∈(0， )，2sin2α=cos2α+1，则sinα= A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ，又 ， ，又 ， ，故选B． 变式2、【2018年高考全国Ⅲ卷理数】若 ，则 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 . 故选B. 变式3、【2020年高考江苏】已知 = ，则 的值是 ▲ ． 【答案】 【解析】 故答案为： 变式4、【2019年高考江苏卷】已知 ，则 的值是 ▲ . 【答案】 【解析】由 ，得 ， 解得 ，或 . ， 当 时，上式 当 时，上式= 综上， 题型二 运用两角和与差的正弦、余弦、正切的公式求角 知识点拨：求角的大小，经常会因为忽略角的取值范围而导致增解．另外，在求角的大小时，一般地，应首先确定所求角的范围，然后根据角的范围来确定求角的哪个三角函数，通常所选择的那个三角函数应该在范围内是单调的． 例2、(2019苏州期初调查）已知cosα＝eq \f(4\r(3),7)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))). (1) 求sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))的值； (2) 若cos(α＋β)＝eq \f(11,14)，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，求β的值． 规范解答 (1) 由cosα＝eq \f(4\r(3),7)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))， 得sinα＝eq \r(1－cos2α)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(3),7)))\s\up12(2))＝eq \f(1,7).(2分) 所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝sineq \f(π,4)cosα＋coseq \f(π,4)sinα(4分) ＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(4\r(3),7)＋eq \f(\r(2),2)×eq \f(1,7)＝eq \f(4\r(6)＋\r(2),14).(6分) (2) 因为α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以α＋β∈(0，π)． 又cos(α＋β)＝eq \f(11,14)，则sin(α＋β)＝eq \r(1－c