精讲01 空间向量与立体几何-2020-2021学年高二上学期数学期末考点大串讲（新教材人教A选择性必修第一二册）（精炼篇）

专题01空间向量与立体几何 【专题综述与核心素养要求】 在必修课程学习平面向量的基础上，本章将平面向量推广到空间，学习空间向量及其运算、空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示，并运用空间向量研究立体几何中图形的位置关系和度量关系，包括用空间向量描述空间直线、平面间的平行、垂直关系，用空间向量解决空间距离、夹角问题等.本章的研究对象是几何图形，所用的研究方法是向量方法.通过本章学习，侧重提升学生的直观想象、数学运算、逻辑推理和数学抽象等数学学科核心素养. 【重要知识点与题型快速预览】 【知识点精解精析】 基础知识点一：空间向量的基本定理 （1）空间向量的基本定理 如果三个向量，，不共面．那么对空间任一向量，存在有序实数组，使得． 其中叫做空间的一个基底，，，都叫做基向量． （2）推论 设，，，是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的有序实数组，使得． 提醒 空间基底中的向量是不共面向量，故各基向量都不能为0． 基础知识点二：空间向量的坐标运算 （1）空间向量的坐标 一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标，即若， 则 ． （2）空间向量的坐标运算 设，，则 ①的模为． ②两向量和的坐标等于两向量相应坐标的和，即 ． ③两向量差的坐标等于两向量相应坐标的差，即 ． ④数乘向量所得向量的坐标等于用这个数乘原来向量的相应坐标，即． ⑤两向量的数量积等于这两个向量相应坐标的乘积的和，即． （3）空间向量平行（共线）的充要条件 设，，则，，． （4）空间向量垂直的充要条件 设非零向量，，则 ． 基础知识点三：空间中的夹角和距离公式 （1）夹角公式 设非零向量，，则． （2）距离公式 在空间直角坐标系中，已知，， 则． 即． 基础知识点四：空间线、面位置关系的判定 设直线，的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，，则有： 线线平行 线面平行 面面平行 线线垂直 线面垂直 面面垂直 【必知必会题型深度讲解】 必知必会题型一：用向量方法判定空间中的平行关系 空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行． （1）线线平行 设直线，的方向向量分别是，，则要证明，只需证明，即． （2）线面平行 ①设直线的方向向量为，平面的法向量为，则要证明，只需证明，即． ②根据线面平行的判定定理：“如果直线（平面外）与平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行”，要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量． ③如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可． （3）面面平行 ①由面面平行的判定定理知，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可． ②若能求出平面，的法向量，，则要证明，只需证明． 【典型例题1】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段A1D上，点Q在线段AC上，线段PQ与直线A1D和AC都垂直，求证：PQ∥BD1. 【典型例题2】正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点.求证：MN∥平面A1BD. 【典型例题3】如图所示，在正方体 中， 为底面 的中心， 是 的中点，设 是 上的点，问：当点 在什么位置时，平面 平面 ？ 必知必会题型二：用向量方法判定空间中的垂直关系 空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直． （1）线线垂直 设直线，的方向向量分别为，，则要证明，只需证明，即． （2）线面垂直 ①设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证，只需证明． ②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直． （3）面面垂直 ①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直． ②证明两个平面的法向量互相垂直． 【典型例题1】在正方体 中, 为 的中点, 为四边形 的中心．求证：对 上任一点 ,都有 ． 【典型例题2】如图所示，在直三棱柱 中， ， 为 的中点，证明：平面 平面 . 【典型例题3】如图，在直三棱柱 中， ， ， ， . （1）求证： ； （2）在线段 上是否存在点 ，使得 ？ 必知必会题型三：利用向量求空间角 （1）求异面直线所成的角 已知，为两异面直线，，与，分别是，上的任意两点，，所成的角为，则． 温馨提示 ①求异面直线所成的角常用平移法或向量法，特别是向量法，由于降低了空间想象的要求，所以需引起重视．用向量法时，需注意两异面直线所成角的范围是． ②两异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异