精讲02 直线与圆的方程-2020-2021学年高二上学期数学期末考点大串讲（新教材人教A选择性必修第一二册）（精炼篇）

专题02直线与圆的方程 【专题综述与核心素养要求】 直线和圆是平面几何中已经研究过的图形，本章用解析几何的方法进行再研究，可以使学生体会解析几何方法的特点.本章首先在平面直角坐标系中，探索确定直线位置和圆的几何要素；然后用代数方法刻画直线的斜率、两点间的距离.在此基础上，建立直线和圆的方程；用方程研究两条直线的位置关系、交点坐标、点到直线的距离以及直线与圆、圆与圆的位置关系；解决简单的数学问题和实际问题，初步感悟平面解析几何蕴含的数学思想. 【重要知识点与题型快速预览】 【知识点精解精析】 基础知识点一：斜率与倾斜角的关系 倾斜角 斜率 倾斜角与斜率的变化关系或关于直线的说明 零角 等于0 直线平行于轴或与轴重合 锐角 大于0 直线的斜率随着倾斜角的增大而增大 直角 不存在 直线垂直于轴 钝角 小于0 直线的斜率随着倾斜角的增大而增大 温馨提示 (1)直线都存在唯一的倾斜角，但并不是每条直线都存在斜率，倾斜角为的直线没有斜率. (2)直线的斜率和倾斜角都是刻画直线倾斜程度的量，斜率侧重于代数角度，倾斜角侧重于几何角度. (3)由直线的斜率的范围求倾斜角的范围时，要注意的取值范围，即，此时的图角是不连续的.如由得或. 基础知识点二：直线方程的五种形式 方程形式 常数的意义 适用范围 备注 点斜式 是直线上一定点，是斜率 直线不垂直于轴 当不存在时，直线方程为 斜截式 是斜率，是直线在轴上的截距 直线不垂直于轴 当不存在时，直线为轴，即 两点式 是直线上的两个定点 直线不垂直于轴，轴 当时，直线方程为；当时，直线方程为 截距式 分别是轴，轴上的非零截距 直线不垂直于轴，轴且不过原点 当时，直线过原点，直线方程为 一般式 为的系数，为常数，不同时为零 平面直角坐标系内的直线都适用 当时，直线过原点；当时，直线斜率为零；当时，直线斜率不存在 基础知识点三：直线系方程 具有某一个共同属性的一簇直线称为直线系，其方程称为直线系方程.直线系方程通常只含有一个独立参数，常见的直线系方程有如下四类： (1)定点直线系方程：经过定点的直线系方程为(除直线外)，其中是待定系数；经过定点的直线系方程为，其中是待定系数 (2)共点直线系方程：经过两直线的交点的直线系方程为(除)，其中是待定系数 (3)平行直线系方程：直线中，当斜率一定而变动时，表示平行直线系方程，与直线平行的直线系方程是是参变量 (4)垂直直线系方程：与直线垂直的直线系方程是是参变量 基础知识点四：距离公式 (1)两点间的距离公式 平面内两点间的距离公式为. 特别地，原点与任意一点的距离为. (2)点到直线的距离公式 点到直线(不同时为零)的距离. 温馨提示 ①点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的最短距离(这是从运动来看的). ②若给出的直线方程不是一般式，则应先把方程化为一般式，再利用公式求距离. ③点到直线的距离公式适用于任何情况，其中点在直线上时，它到直线的距离为0. (3)两条平行直线间的距离公式 两条平行直线和间的距离. 温馨提示 ①两条平行直线间的距离公式适用于两条直线的方程都是一般式，并且的系数分别对应相等的情况，否则必须先化为上述形式都能套用公式. ②两条平行线间的距离可以转化为点到直线的距离. 基础知识点五： 知识5 圆的标准方程 (1)圆心为，半径为的圆的标准方程是. (2)圆心在坐标原点，半径为的圆的标准方程是. 温馨提示 (1)圆的f标准方程中含有三个独立的系数，因此，确定一个圆需三个独立的条件，其中圆心是圆的定位条件，半径是圆的定形条件. (2)圆的标准方程的优点在于明确显示了圆心和半径. 知识3 圆的一般方程 形如的二元二次方程， (1)当时，叫做圆的 一般方程. 配方，得 所以圆心为，半径为； (2)当时，方程表示一个点； (3)当时，方程没有实数解，它不表示任何图形(没有轨迹). 知识2 直线与圆的位置关系 直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系. 位置关系 相离 相切 相交 二元二次方程组解的情况 无解 仅有一组角 有两组不同的解 消元后得到的一元二次方程根的情况 无实数根 有两个相等的实数根 有两个不相等的实数根 圆心到直线的距离与圆的半径的关系 图形 【必知必会题型深度讲解】 必知必会题型一：求直线方程的一般方法 (1)直接法 根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接求出直线方程.应明确直线方程的几种形式及各自的特点，合理选择解决方法.一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知在两坐标轴上的截距用截距式；已知两点用两点式，这时应特别注意斜率不存在的情况.