精讲03 圆锥曲线方程-2020-2021学年高二上学期数学期末考点大串讲（新教材人教A选择性必修第一二册）（精炼篇）

专题03圆锥曲线方程 【专题综述与核心素养要求】 解析几何是数学发展过程中的标志性成果，是微积分创立的基础.本章将在“直线和圆的方程”的基础上，通过行星运行轨道、抛物运动轨迹等，使学生了解圆锥曲线的背景与应用；帮助学生在平面直角坐标系中，认识椭圆、抛物线、双曲线的几何特征，建立它们的标准方程；运用代数方法进一步认识圆锥曲线的性质以及它们的位置关系；运用平面解析几何方法解决简单的数学问题和实际问题，感悟平面解析几何中蕴含的数学思想；提升直观想象、数学运算、数学建模、逻辑推理和数学抽象素养. 【重要知识点与题型快速预览】 【知识点精解精析】 基础知识点一：椭圆的定义 （1）椭圆的定义 我们把平面内与两个定点、的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫椭圆． 这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距． （2）椭圆定义的集合描述 设点是椭圆上的任意一点，点，是椭圆的焦点，则由椭圆的定义知，椭圆可以视为动点的集合． 基础知识点二：椭圆的几何性质 标准方程 范围 ， ， 对称性 关于轴、轴对称； 关于原点中心对称 顶点坐标 ，，， ，，， 焦点坐标 ， ， 半轴长 长半轴长为，短半轴长为， 离心率 基础知识点三：双曲线的几何性质 定义 图形 标准方程 范围 或， 或， 对称性 关于轴，轴对称，关于原点中心对称 顶点 ， ， 离心率 渐近线 基础知识点四：抛物线的定义 （1）抛物线的定义 平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点，叫做抛物线的焦点，定直线，叫做抛物线的准线． （2）抛物线定义的集合描述 设点是抛物线上任意一点，抛物线的焦点为，准线为，点到准线的距离为，则由抛物线的定义知，抛物线可以视为动点的集合． 基础知识点五：抛物线的标准方程与几何性质 标准方程 图形 顶点 对称轴 轴 轴 焦点 准线方程 位置特征 抛物线在轴右侧，当增大时，也增大 抛物线在轴左侧，当减小时，增大 抛物线在轴上方，当增大时，也增大 抛物线在轴下方，当减小时，增大 基础知识点六：抛物线的焦点弦的性质 如图，为抛物线的焦点弦，，，焦点，准线：，，，且，分别为，的中点，为与抛物线的交点，则 （1），； （2），，； （3），，（为的倾斜角）； （4）直角梯形的对角线交于原点，且； （5）被抛物线平分，即为的中点； （6）； （7）（定值）； （8）以为直径的圆必与准线相切；以（或）为直径的圆与轴相切． 【必知必会题型深度讲解】 必知必会题型一：由椭圆方程研究椭圆的几何性质 研究椭圆的性质时，应先把椭圆方程化成标准方程，注意分清楚焦点所在的位置，这样便于写出，的值，由此可根据求出，进而求椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点的坐标的问题皆可解决． 【典型例题1】设 是椭圆 上的点, 到该椭圆左焦点的距离为 ,则 到右焦点的距离为__________. 【典型例题2】设 分别是椭圆 的左、右焦点，过点 的直线交椭圆E于A，B两点， ，且 的周长为16，则 _____． 【典型例题3】如图把椭圆 的长轴 分成 等分,过每个分点作 轴的垂线交椭圆的上半部分于 ， ，…， 七个点， 是椭圆的左焦点,则 _________ . 必知必会题型二：椭圆中焦点三角形问题的解法 以椭圆上的一点与两个焦点为顶点的三角形通常称为焦点三角形．关于椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义列出，整体代换求解，这种回归定义的方法是求解椭圆焦点三角形问题的常用方法．在求解过程中要灵活运用勾股定理、正弦定理、余弦定理等． 【典型例题1】 为椭圆 的两个焦点，点 在椭圆上，且满足 ，则三角形 的面积为_____________________； 【典型例题2】定义：椭圆上一点与两焦点构成的三角形为椭圆的焦点三角形，已知椭圆 的焦距为 ，焦点三角形的周长为 ，则椭圆 的方程是__________． 【典型例题3】已知 、 是椭圆的两个焦点， 为椭圆上一点， ，椭圆的短半轴长为 ，则三角形 的面积为______. 必知必会题型三：椭圆离心率的求法 （1）定义法 当题中出现焦点三角形三边关系或、易求时，可以利用定义求解．另外，易求，时，可利用求解；易求，时，可利用求解． （2）构建关于，的齐次式，列方程求解 根据条件及几何图形建立，，满足的关系式，化为，的齐次方程，然后将等式两边同时除以的次方（一般除以或），从而转化为关于的方程，解方程即可，此时要注意． 【典型例题1】直线 交椭圆 ： 于 ， 两点，设 中点为 ，直线 的斜率等于 ， 为坐标原点，则椭圆 的离心率________