精讲04 数列-2020-2021学年高二上学期数学期末考点大串讲（新教材人教A选择性必修第一二册）（精炼篇）

专题04数列 【专题综述与核心素养要求】 数列是一类特殊的函数，是数学重要的研究对象，是研究其他类型函数的基本工具，在日常生活中也有着广泛的应用.本章通过对具体例子的分析，抽象出了数列的概念，通过数学运算、逻辑推理等研究了两类特殊的数列——等差数列和等比数列的取值规律，并运用它们解决了一些问题.因为数列是一类特殊的函数，所以本章注重函数思想和方法的应用.此外，数学归纳法也是本章的学习内容，这是一种证明与正整数有关的数学命题的特殊方法.通过本章的学习，学生的数学抽象、数学运算、逻辑推理和数学建模素养都将得到进一步提升. 【重要知识点与题型快速预览】 【知识点精解精析】 基础知识点一：数列的递推公式 （1）递推公式的概念 如果已知数列的对象（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． （2）对数列递推公式的理解 ①与“不一定所有数列都有通项公式”一样，并不是所有的数列都有递推公式． ②递推公式是给出数列的一种方法．事实上，递推公式和通项公式一样，都是关于项的序号的恒等式．如果用符合要求的正整数依次去替换，就可以求出数列的各项． ③用递推公式给出一个数列，必须给出： ⅰ．基础——数列的第1项（或前几项）； ⅱ．递推关系——数列的任意一项与它的前一项（或前几项）间的关系，并且这个关系可以用等式来表示． 基础知识点二：数列的前项和 叫做数列的前项和，记作． 数列的通项与前和的关系：； 温馨提示 不是对一切正整数都成立，而是对的一切正整数恒成立，因为当时，无意义． 因此，由前项和求通项公式时，要分与两种情况，注意验证两种情形能否用同一式子表示，若不能，就用分段形式表示． 基础知识点三：等差数列的通项公式 （1）等差数列的通项公式 等差数列的通项公式为，其中为首项，为公差． （2）等差数列通项公式的变形应用 已知等差数列中的任意两项，则 这表明已知等差数列中的任意两项即可求得其公差，进而求得其通项公式． （3）等差数列的通项公司与一次函数的关系 由等差数列的通项公式，可得，当时，为常数函数，当时，是关于的一次函数，一次项系数就是等差数列的公差，因此等差数列的图像是直线上的均匀分布的一群孤立的点． 基础知识点四：等差数列的前项和公式 （1）等差数列的前项和公式 （公式一）． （公式二）． 温馨提示 ①等差数列的前项和公式中，涉及五个量，通常已知其中三个量，结合通项公式，可求另外两个量，即“知三求二”，其应用的是方程思想． ②公式一、公式二中涉及的量有所区别，解题时需根据已知条件决定选用哪个公式： 当已知首项、末项和项数时，用公式一较为简便； 当已知首项、公差和项数时，用公式二较为简便． 在运用公式时，注意结合等差数列的性质． 基础知识点五：等比数列的通项公式 （1）等比数列的通项公式 若等比数列的首项为，公比为，则这个等比数列的通项公式是． 温馨提示 由等比数列的通项公式可知，公比影响数列各项的符号；时，等比数列各项的符号相同；时，等比数列各项的符号正负交替． （2）等比数列通项公式的变形及应用 由，可推出，∴． 这表明：①在已知等比数列中任一项及公比的前提下，可以使用求等比数列中任意项； ②已知等比数列中的和两项，就可以使用求公比，其中可大于，也可小于． （3）等比数列的通项公式与指数函数的关系 等比数列的通项公式可以改写为，当且时，等比数列的图象是指属数型函数的图象上一些孤立的点． 基础知识点六：等比数列的求和公式 （1）等比数列的前项和公式 若等比数列的首项为，公比为，则等比数列的前和公式为 温馨提示 ①等比数列前项和公式分与两种情况，因此用公式求和时，若公比不确定，要对公比进行分裂讨论． ②时，等比数列前项和有两个求解公式． 当已知与时，用较方便； 当已知与时，用较方便． ③对于等比数列的五个相关量，知道其中任意三个量，都可以利用方程思想求出其余两个量． 【必知必会题型深度讲解】 必知必会题型一：数列求和的常用方法 （1）公式法求和 ①直接用等差、等比数列的求和公式． ②掌握一些常见的数列的前项和公式． ． ． ． ． （2）倒序相加法求和 如果一个数列中，与首、末两项等“距离”的两项的和相等，那么求这个数列的前项和可用倒序相加法，如等差数列的前项和即是用此法推导的． （3）错位相减法求和 错位相减法求和适用于型数列，其中分别是等差数列和等比数列． （4）裂项相消法求和 利用裂项消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面剩两项，再就是通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂项前后保持相等． 常见的拆项公式有： ①若是等差数列，则，． ②． ③． ④． ⑤． （5）分组转化法求和 数列求和应从通