精讲05 一元函数的导数-2020-2021学年高二上学期数学期末考点大串讲（新教材人教A选择性必修第一二册）（精炼篇）

专题05一元函数的导数 【专题综述与核心素养要求】 导数是微积分的核心内容之一，是现代数学的基本概念，蕴含微积分的基本思想；导数定量地刻画了函数的局部变化，是研究函数性质的基本工具.本章通过具体情境，引导学生直观理解导数概念，感悟极限思想，知道极限思想是人类深刻认识和表达现实世界必备的思维品质；理解导数是一种借助极限的运算，掌握导数的基本运算规则，能求简单函数和简单复合函数的导数；能够运用导数研究简单函数的性质和变化规律，能够利用导数解决简单的实际问题.通过本章的学习，提升学生的数学抽象、数学运算、直观想象和逻辑推理素养. 【重要知识点与题型快速预览】 【知识点精解精析】 基础知识点一：基本初等函数的导数公式 函数 导数 （为常数） （，且） （，且） 基础知识点二：导数的运算法则 符号表达 文字叙述 两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差） 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数 两个函数的商的导数，等于分子的导数乘分母减去分子乘分母的导数，再除以分母的平方 基础知识点三：函数单调性和导数的关系 ①单调递增：在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增． ②单调递减：在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递减． 温馨提示 ①在某个区间内，是函数在此区间内单调递增（减）的充分条件，而不是必要条件．例如，函数在定义域上是增函数，但． ②可导函数在内单调递增（减）的充要条件是在内恒成立，且在的任意子区间内都不恒等于0．这就是说，在区间内的个别点处有并不影响函数在该区间内的单调性． 基础知识点四：函数的极值 （1）极值的相关概念 ①极小值点与极小值： 函数在点处的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，，而且在点附近的左侧，右侧，则把点叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值． ②极大值点与极大值： 函数在点处的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，，而且在点附近的左侧，右侧，则把点叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值． ③极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值． （2）对函数极值概念的理解 极值是研究函数在某一很小区域时给出的一个概念，在理解极值概念时要注意以下几点： ①按定义，极值点是区间内部的点，不会是端点，（因为在端点处不可导）． ②极值是一个局部性概念，只要在一个小区域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说，极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小. ③如果在内有极值，那么在内绝对不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值． ④若函数在上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点．一般地，当函数在上连续且有有限个极值点时，函数在内的极大值点、极小值点是交替出现的． 基础知识点五：函数的最大值与最小值 （1）一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点处取得． 注意 当的图象连续不断且在上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得． （2）函数的极值与最值的区别： ①极值是对某一点附近（即局部）而言，最值是对函数的整个定义区间而言． ②在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值最多有一个． ③函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点． 【必知必会题型深度讲解】 必知必会题型一：利用导数求单调区间 求可导函数的单调区间一般有两种方法，一种是解不等式法，另一种是列表法． （1）用解不等式法求单调区间的步骤：①确定函数的定义域；②求导函数；③解不等式和，并写出解集；④根据③的结果确定函数的单调区间． （2）用列表法求单调区间的步骤： ①确定函数的定义域； ②求导函数； ③解方程； ④列表； ⑤得出结论． 【典型例题1】已知函数 ， . （1）求函数 的单调区间； （2）若函数 在区间 上是减函数，求实数 的最小值. 【典型例题2】设函数 ， . （1）当 时，求 在 处的切线方程； （2）讨论函数 的单调性； 【典型例题3】定义在 上的函数 . （1）若 在 处的切线与直线 垂直，求函数 的解析式； （2）设 ，讨论 的单调性. 必知必会题型二：由函数的单调性求参数的取值范围 由函数的单调性求参数的取值范围经常涉及的两种题型： （1）已知含参函数在给定区间上递增（减），求参数范围． （2）已知函数在含参区间上递增（减