精讲01 集合与常用逻辑-2020-2021学年高一上学期数学期末考点大串讲（新教材人教A版必修第一册）（精炼篇）

专题01集合与常用逻辑 【专题综述与核心素养要求】 集合是刻画一类事物的语言和工具，使用集合语言可以简洁、准确地表述数学的研究对象，提升数学抽象素养.常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具，是逻辑思维的基本语言，使用常用逻辑用语表达数学对象、进行数学推理，可以提高交流的严谨性与准确性，提升逻辑推理素养. 《课程标准（2017年版）》将集合与常用逻辑用语作为高中数学课程的预备知识，要求学生用集合语言和常用逻辑用语梳理、表达学过的数学内容，实现从具体的初中数学知识向较为抽象的高中数学知识的过渡，为高中数学学习做好知识与技能、方法与习惯、能力与态度方面的准备. 【重要知识点与题型快速预览】 【知识点精解精析】 基础知识点一：集合元素的互异性 在集合运算中，常利用元素的互异性检验所得的结论是否正确，因互异性易被忽略，在解决含参数集合问题时应格外注意． 基础知识点二：集合与集合之间的关系 集合与集合之间的关系有包含、真包含和相等．判断集合与集合之间的关系的本质是判断元素与集合的关系，包含关系的传递性是推理的重要依据．空集比较特殊，它不包含任何元素，是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集．解题时，已知条件中出现A⊆B时，不要遗漏A＝∅. 基础知识点三：集合与集合之间的运算 并、交、补是集合间的基本运算，Venn图与数轴是集合运算的重要工具．注意集合之间的运算与集合之间关系的转化，如A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B. 基础知识点四：充分条件与必要条件 (1)如果p⇒q，那么称p是q的充分条件，q是p的必要条件． (2)分类： ①充要条件：p⇒q且q⇒p，记作p⇔q； ②充分不必要条件：p⇒q，q p； ③必要不充分条件：q⇒p，p q； ④既不充分也不必要条件：p q且q p． 基础知识点五：全称量词与存在量词 (1)全称量词与全称命题． 全称量词用符号“∀”表示． 全称命题用符号简记为∀x∈M，p(x)． (2)存在量词与特称命题． 存在量词用符号“∃”表示． 特称命题用符号简记为∃x∈M，p(x)． 基础知识点六：含有一个量词的命题的否定 命题 命题的否定 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，¬p(x) ∃x∈M，p(x) ∀x∈M，¬p(x) 【必知必会题型深度讲解】 必知必会题型一：集合间关系的判断方法 判断集合间关系的方法有三种： （1）观察法：把集合中的元素一一列举出来，通过直观观察进行判断. （2）集合元素特征法：首先确定集合中的元素是什么，弄清元素的特征，再利用元素的特征判断关系. （3）数形结合法：利用数轴或Venn图. 【典型例题1】已知集合 ， ，判断这两个集合之间的关系. 【典型例题2】已知集合 ，集合 ，试判断 与 之间的关系，并说明理由． 【典型例题3】设集合 . （1）若 ，判断集合 与 的关系； （2）若 ，求实数 组成的集合 . 必知必会题型二：根据两集合的关系求参数的范围（值） （1）要明确集合中的元素，若出现包含关系，一般需对子集是不是空集进行分类讨论，做到不漏解. （2）若集合中的元素是一一列举出来的，常依据集合间的关系转化为方程（组）求解，此时注意集合中元素的互异性；若集合表示的是不等式（组）的解集，常依据数轴转化为不等式（组）求解，此时需注意端点值能否取到. 【典型例题1】已知集合 ，集合 . （1）当 时，求 ； （2）若 ，求实数 的取值范围. 【典型例题2】全集 ， ， 且 ， 且 . （1）求集合B， ； （2）若集合 ，则集合A、B、D的关系是什么？ 【典型例题3】已知集合 ， ． （1）当 时，求 ， ； （2）若 ，求实数 的取值范围． 试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，并完成解答． ①函数 的定义域为集合 ；②不等式 的解集为 ． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 必知必会题型三：数轴与Venn图的应用 进行集合的交、并、补综合运算时，通常需要借助Venn图或数轴，数形结合来分析得出结果. 一般来说，用列举法表示的数集，借助Venn图运算；用描述法表示的数集（以不等式（组）的解集为代表），借助数轴分析得出结果.另外，研究比较抽象的集合之间的关系时，也通常需要画出Venn图，将抽象问题直观化，即用重叠区域表达集合间的交集运算，用合并区域表达集合间的并集运算. 【典型例题1】已知集合 ， . （1）求 ； （2）若 ，求实数 的取值范围. 【典型例题2】已知集合A＝{x|x<－1或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}， （1）A∪B=R，求实数a的取值范围 （2）若A∩B＝B，求实数a的取值范围． 【典型例题3】向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞