精讲02 基本不等式与二次不等式-2020-2021学年高一上学期数学期末考点大串讲（新教材人教A版必修第一册）（精炼篇）

专题02基本不等式与二次不等式 【专题综述与核心素养要求】 与“集合”“常用逻辑用语”一样，“相等关系与不等关系”和“从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式”的内容也是《课程标准（2017年版）》规定的高中数学课程的预备知识.它们的作用都是为高中数学课程做好学习心理、学习方式和知识技能等方面的准备，帮助学生完成初高中数学学习的过渡. 为什么“相等关系与不等关系”和“从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式”的内容能发挥这样重要的作用？它们为高中数学课程的学习做了哪些方面的准备呢？首先，相等关系、不等关系是数学中最基本的数量关系，是构建方程、不等式的基础，而方程和不等式都是重要的数学工具，在解决问题中有广泛的应用，因此对方程和不等式内容的学习，主要是为高中数学课程提供工具方面的准备.其次，函数是贯穿高中数学课程的最重要的概念和思想方法，用函数的观点看方程和不等式是要向学生渗透一种重要的思想方法——如何从函数的观点理解其他数学对象，进而把握不同数学对象的共性和相互关系.而这种思想方法对学生高中阶段的数学学习是非常重要的.最后，从学习方法来看，本章要在回顾、梳理等式内容的基础上，提炼等式中蕴含的思想方法，以及用一次函数的观点看一次方程、不等式的思想方法，再把这些思想方法迁移到对不等式内容的学习中.这种“回顾、梳理—提炼—迁移”的学习方法将适用于高中许多内容的学习. 【重要知识点与题型快速预览】 【知识点精解精析】 基础知识点一：不等式的性质 别名 性质内容 注意 性质1 对称性 可逆 性质2 传递性 同向 性质3 可加性 可逆 性质3的推论 移项法则 可逆 性质4 可乘性 的符号 性质5 同向可加性 同向 性质6 同向同正可乘性 同向，同正 性质7 可乘方性 同正 性质8 可开方性 基础知识点二：一元二次不等式的解集 （1）三个“二次”之间的关系 由一元二次不等式的一般形式知，任何一个一元二次不等式整理成一边形式为或，而且我们已经知道对于一元二次方程（，其中），它的解按照可分为三种情况．相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况，因此，对应的一元二次不等式（或）的解集我们也分三种情况进行讨论． 二次函数 的图象 一元二次方程的根 有两不同实根 有两个相等的实根 无实根 一元二次不等式的解集 的解集 或 的解集 时解集的结构可记为：的解集为“大于大根或小于小根”；的解集为“大于小根且小于大根”． （2）解一元二次不等式的一般步骤 ①对不等式变形，使一端为零且二次项系数大于零； ②计算判别式； ③当时，求出相应的一元二次方程的根； ④根据二次函数图象写出一元二次不等式的解集． 基础知识点三：基本不等式 （1）重要不等式 ，当且仅当时，等号成立． （2）基本不等式 如果，那么，当且仅当时，等号成立． 其中，叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数． 因此，基本不等式可以叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 温馨提示 ①基本不等式成立的条件是． ②从不等式成立的条件来看，要求，而对没有要求．例如，当，时，成立，但显然不成立． ③事实上，当时，我们分别用代替重要不等式中的，可得，变形可得． ④基本不等式可变形为等． ⑤由基本不等式，我们可以得到一个常用结论：． 【必知必会题型深度讲解】 必知必会题型一：一元二次不等式的解法 解一元二次不等式的一般步骤如下： （1）化成标准式或． （2）计算对应方程根的判别式． （3）求出对应方程的解． （4）画出相应二次函数的图象． （5）由图象写出不等式的解集． 【典型例题1】解下列不等式： （1） ； （2） ； （3） . 【典型例题2】解下列不等式： （1）2＋3x－2x2>0； （2）x(3－x)≤x(x＋2)－1； （3）x2－2x＋3>0. 【典型例题3】已知不等式 的解集为 ． （1）解不等式 ； （2）b为何值时， 的解集为R？ 必知必会题型二：含参数的一元二次不等式的解法 在解含有参数的一元二次不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，一般从如下三个方面进行考虑： （1）关于不等式类型的讨论：二次项的系数； （2）关于不等式对应的方程的根的讨论：两根（），无根（）； （3）关于不等式对应的方程根的大小的讨论：． 【典型例题1】求关于x的不等式 的解集，其中a是常数. 【典型例题2】解关于 的不等式: . 【典型例题3】解下列含参数的不等式： （1） ； （2） ； （3） ． 必知必会题型三：不等式中恒成立问题的解法 （1）含参数的不等式的恒成立问题