精讲03 函数的概念与性质-2020-2021学年高一上学期数学期末考点大串讲（新教材人教A版必修第一册）（精炼篇）

专题03函数的概念与性质 【专题综述与核心素养要求】 函数是现代数学最基本的概念，是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具，在解决实际问题中发挥着重要作用.函数是贯穿高中数学课程的主线. 通过本章的学习，要使学生建立完整的函数概念，不仅把函数理解为刻画变量之间依赖关系的数学语言和工具，而且把函数理解为实数集合之间的对应关系；能用代数运算和函数图象揭示函数的主要性质；在现实问题中，能利用函数构建模型，解决问题；提升数学抽象、直观想象、数学运算和数学建模素养. 【重要知识点与题型快速预览】 【知识点精解精析】 基础知识点一： 函数的定义 （1）定义 设、是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称：为从集合到集合的一个函数，记作，其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.显然，. （2）对函数概念的理解 ①、都是非空数集，因此函数的定义域和值域不能为空集. ②定义域、值域、对应关系是函数的三要素，缺一不可，其中对应关系是核心，定义域是根本，当定义域和对应关系确定时，值域也就确定了. ③关于对应关系，它是函数的本质特征. ④函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集中的任意一个（任意性）数，在集合中都有（存在性）唯一（唯一性）的数与之对应.这三性只要有一个不满足，便不能构成函数. 基础知识点二：函数相等 （1）函数相等的定义 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等. （2）如何判定两个函数是相等函数 函数含有三个要素，即定义域，值域和对应关系.其中核心是对应关系，它是函数关系的本质特征. 只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才是同一函数，换言之就是： ①定义域不同，两个函数也就不同. ②对应关系不同，两个函数也是不同的. ③即使定义域和值域都分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应关系. 基础知识点三：分段函数 （1）定义 在函数的定义域中，对于自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数通常称为分段函数.如函数就是分段函数. （2）对分段函数的理解 ①分段函数是一个函数，而不是几个函数. ②分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的. ③画分段函数的图象时，一定要考虑区间端点是否包含在内，若端点包含在内，则用实心点表示，若端点不包含在内，则用空心圆圈表示. ④写分段函数时，各定义区间的端点应不重不漏. ⑤分段函数的定义域是各段定义区间的并集，分段函数的值域是各段值域的并集. 基础知识点四：函数的单调性 函数的单调性是在定义域内讨论的，若要证明f(x)在区间[a，b]上是增函数或减函数，必须证明对[a，b]上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时都有f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)成立；若要证明f(x)在区间[a，b]上不是单调函数，只要举出反例，即只要找到两个特殊的x1，x2，不满足定义即可．单调函数具有下面性质：设函数f(x)定义在区间I上，且x1，x2∈I，则 (1)若函数f(x)在区间I上是单调函数，则x1＝x2⇔f(x1)＝f(x2)． (2)若函数f(x)在区间I上是单调函数，则方程f(x)＝0在区间I上至多有一个实数根． (3)若函数f(x)与g(x)在同一区间的单调性相同，则在此区间内，函数f(x)＋g(x)亦与它们的单调性相同． 函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法． 基础知识点五：函数的奇偶性 判定函数奇偶性，一是用其定义判断，即先看函数f(x)的定义域是否关于原点对称，再检验f(－x)与f(x)的关系；二是用其图象判断，考查函数的图象是否关于原点或y轴对称去判断，但必须注意它是函数这一大前提． 基础知识点六：幂函数的概念 （1）一般地，形如的函数叫做幂函数，其中为自变量，为常数. （2）幂函数的表达式有以下四个特征： ①解析式右边是一个幂；②系数为1；③底数为自变量；④指数为常数. （3）幂函数与指数函数的区别： 幂函数 →指数为常数，→底数为自变量（取值范围与有关） 指数函数 指数为自变量（，取值范围与无关）底数为常数（且） 【必知必会题型深度讲解】 必知必会题型一：求函数定义域的常用方法 （1）若是整式，则的定义域是. （2）若是分式，则要求分母不为零. （3）若解析式为，则要求. （4）的定义域是. （5）若同时出现上述几种情况，则分别找出各自的定义域，然后求交集. （6）抽象函数的定义域： 当所给函数没有解析式，即为抽象函数时，要弄清所给函数间有何关系，进而求解定义域，如： ①已知的定义域