精讲05 三角函数-2020-2021学年高一上学期数学期末考点大串讲（新教材人教A版必修第一册）（精炼篇）

专题05三角函数 【专题综述与核心素养要求】 三角函数是一类最典型的周期函数.在高中数学课程中，《课程标准（2017年版）把三角函数内容安排在必修课程“主题二函数”中，把“函数概念与性质”“幂函数、指数函数、对数函数”“三角函数”“函数应用”视为一个整体，同时提出通过三角函数内容的学习使学生“重点在数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算和数学建模等素养上得到提升”.因此，在教科书的编写中应遵循“注重教科书的整体结构”“体现内容之间的有机衔接”“凸显内容和数学学科核心素养的融合”等原则，帮助学生从整体上把握三角函数的概念、性质和应用，理解“三角函数”与“函数概念与性质”以及“幂函数、指数函数、对数函数”等内容的联系，掌握利用三角函数构建数学模型的方法和技能，通过三角函数的定义、性质和应用等内容的学习，提升数学学科核心素养. 【重要知识点与题型快速预览】 【知识点精解精析】 基础知识点一：同角三角函数的基本关系 （1）同角三角函数的基本关系 基本关系式 语言描述 平方关系 同一个角的正弦、余弦的平方和等于1 商数关系 同一个角的正弦、余弦的商等于角的正切 温馨提示 ①注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角“在使函数有意义的前提下”关系式都成立，如成立，但是就不一定成立． ②是的简写，读作“的平方”，不能将写成，前者是的正弦的平方，后者是的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写． ③注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的，对一切恒成立，而对成立． 基础知识点二：特殊角的三角函数值表 角 弧度 0 正弦 0 1 0 余弦 1 0 0 正切 0 1 不存在 0 不存在 基础知识点三：三角函数的诱导公式 公式一 ，， （其中） 公式二 ，， 公式三 ，， 公式四 ，， 公式五 ， 公式六 ， 基础知识点四：正弦函数和余弦函数的图象与性质 函数 图象 定义域 值域 最值 时，； 时， 时，； 时， 单调性 在 上为增函数； 在 上为减函数 在 上为增函数； 在 上为减函数 奇偶性 奇函数 偶函数 最小正周期 对称性 对称轴：，； 对称中心：， 对称轴：，； 对称中心：， 基础知识点五：由的图象得到（其中，）的图象的过程 先画出函数的图象，再把正弦曲线向左（右）平移个单位长度，得到的图象，然后使曲线上各点的横坐标变为原来的，得到函数的图象，最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的倍，得到函数的图象． 这一过程的步骤如下： ． 应注意还有一种途径： ． 这两个途径的关键差别在“相位变换”这一步骤上，其实质是要看自变量的变化情况．对于第一种途径，在相位变换这一步中是由变到，故应为“将函数图象上所有点向左（当时）或向右（当时）平移个单位长度得到函数的图象”；对于第二种途径，在相位变换这一步中是由到，即，实质是变化到，故应为“将函数的图象上所有点向左（当时）或向右（当）平移个单位长度得到函数图象”．两者平移的方向相同，但平移的单位长度不同，这是很容易出错的地方． 温馨提示 ①，决定“形变”，决定“位变”． ②第一种途径是先平移后伸缩，第二种途径是先伸缩后平移，且两种途径平移的方向相同，但平移的单位长度不同．特别注意，不论是相位变换（）还是周期变换（）都是针对自变量“”而言的，变换时要注意顺序． 基础知识点六：两角和与差的余弦公式 ，简记作． ，简记作． 上述两个公式的记忆口诀：“余余正正，符号相反”． 基础知识点七：两角和与差的正弦公式 ，简记作． ，简记作． 上述两个公式的记忆口诀：“正余余正，符号相同”． 基础知识点八：两角和与差的正切公式 ，简记作． ，简记作． 基础知识点九：二倍角的正弦、余弦、正切公式 ， ， ． 基础知识点十：化简三角函数式时常用的变换技巧 （1）角的代换 将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式，像这样的代换方法就是角的代换． 常见的配角技巧： ； ； ； ； ； ． （2）公式的逆用和变形 公式的顺用是常见的，但逆用和变形往往容易被忽视．公式的逆用和变形不仅能开拓思路，而且能培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形，才能熟练掌握公式的应用． ①逆用：． ②角变换后使用： ． ③移项使用： ； ． ④公式的变形： i.． ii.． iii.． iv.． v.升幂公式：；． vi.降幂公式：；． ⑤“1”的变形 ，， ，． （3）辅