专题06 解直角三角形中的背靠背模型-2020-2021学年九年级数学下册难点突破（北师大版）

专题06 解直角三角形中的背靠背模型 【模型展示】 【中考真题】 1、如图，在活动课上，小明和小红合作用一副三角板来测量学校旗杆高度．已知小明的眼睛与地面的距离（AB）是1.7m，他调整自己的位置，设法使得三角板的一条直角边保持水平，且斜边与旗杆顶端M在同一条直线上，测得旗杆顶端M仰角为45°；小红的眼睛与地面的距离（CD）是1.5m，用同样的方法测得旗杆顶端M的仰角为30°．两人相距28米且位于旗杆两侧（点B、N、D在同一条直线上）．求出旗杆MN的高度．（参考数据：，，结果保留整数．） 解： 过点A作AE⊥MN于E， 过点C作CF⊥MN于F ……………………1分 则EF==0.2 ……………2分 在Rt△AEM中， ∵∠MAE=45°，∴AE=ME …………………………………3分 设AE=ME=（不设参数也可） ∴MF=＋0.2，CF=28 …………………………………………………………………4分 在Rt△MFC中，∠MFC=90°，∠MCF=30° ∴MF=CF·tan∠MCF ……………………………………………………………………5分 ∴ …………………………………………………………………… 6分 ∴10.0　 …………………………………………………………………………………7分 ∴MN12 ……………………………………………………………………………………8分 答：旗杆高约为12米． 【精典例题】 1、由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达A处时，测得小岛B位于它的北偏东30°方向，且与航母相距80海里，再航行一段时间后到达C处，测得小岛B位于它的西北方向，求此时航母与小岛的距离BC的长． 解：过点B作BD⊥AC于点D， 由题意得∠BAD＝60°，∠BCD＝45°，AB＝80. 在Rt△ADB中，∠BAD＝60°， ∴BD＝AB·sin60°＝40. 在Rt△BCD中，∠BCD＝45°， ∴BC＝＝40. 答：BC的长为40海里． 2、如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB的高度，站在教学楼的C处测得旗杆底端B的俯角为45°，测得旗杆顶端A的仰角为30°.若旗杆与教学楼的距离为9 m，则旗杆AB的高度是__3＋9__m(结果保留根号)． 3、放置在水平桌面上的台灯的平面示意图如图所示，灯臂AO长为40 cm，与水平面所形成的夹角∠OAM为75°.由光源O射出的边缘光线OC，OB与水平面所形成的夹角∠OCA，∠OBA分别为90°和30°，求该台灯照亮水平面的宽度BC.(不考虑其他因素，结果精确到0.1cm.温馨提示：sin 75°≈0.97，cos 75°≈0.26，≈1.73) 解：在Rt△ACO中，sin 75°＝＝≈0.97， 解得OC≈38.8 cm. 在Rt△BCO中，tan 30°＝≈≈， 解得BC≈67.3 cm. 答：该台灯照亮水平面的宽度BC大约是67.3 cm. 4、如图，A，B两市相距150km，国家级风景区中心C位于A市北偏东60°方向上，位于B市北偏西45°方向上．已知风景区是以点C为圆心、50km为半径的圆形区域．为了促进旅游经济发展，有关部门计划修建连接A，B两市的高速公路，高速公路AB是否穿过风景区？通过计算加以说明．（参考数据：≈1.73） 解：高速公路AB不穿过风景区．过点C作CH⊥AB于点H，如图所示． 根据题意，得：∠CAB＝30°，∠CBA＝45°， 在Rt△CHB中，∵tan∠CBH＝＝1，∴CH＝BH． 设BH＝tkm，则CH＝tkm，在Rt△CAH中，∵tan∠CAH＝＝， ∴AH＝tkm．∵AB＝150km，∴t+t＝150， ∴t＝75﹣75≈75×1.73﹣75＝54.75．∵54.75＞50，∴高速公路AB不穿过风景区． 5、在一次海上救援中，两艘专业救助船A，B同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船B在A的正北方向，事故渔船P在救助船A的北偏西30°方向上，在救助船B的西南方向上，且事故渔船P与救助船A相距120海里． (1)求收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离； (2)若救助船A，B分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船P处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达． 解：(1)过点P作PC⊥AB于点C，则∠PCA＝∠PCB＝90°. 由题意，得PA＝120海里，∠A＝30°，∠B＝45°， ∴PC＝PA＝60海里， PB＝＝60海里． 答：收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离为60海里． (2)救助船A所用的时间为＝3(小时)， 救助船B所用的时间为＝2(小时)， ∵3＞2，∴救助船B先到达． 6、如图，要在江苏省某林场