专题（十五）函数专题

专题（十五）函数 （2016）17．已知△ABC中，tanB=，BC=6，过点A作BC边上的高，垂足为点D，且满足BD：CD=2：1，则△ABC面积的所有可能值为______． 试题解析: 【分析】分两种情况，根据已知条件确定高AD的长，然后根据三角形面积公式即可求得． 【解答】解：如图1所示： ∵BC=6，BD：CD=2：1， ∴BD=4， ∵AD⊥BC，tanB=， ∴=， ∴AD=BD=， ∴S△ABC=BC•AD=×6×=8； 如图2所示： ∵BC=6，BD：CD=2：1， ∴BD=12， ∵AD⊥BC，tanB=， ∴=， ∴AD=BD=8， ∴S△ABC=BC•AD=×6×8=24； 综上，△ABC面积的所有可能值为8或24， 故答案为8或24． （2017）6．如图，将函数y=（x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A（1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为点A'、B'．若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（　　） A． B． C． D． （压轴）16．如图，曲线l是由函数y=在第一象限内的图象绕坐标原点O逆时针旋转45°得到的，过点A（﹣4，4），B（2，2）的直线与曲线l相交于点M、N，则△OMN的面积为　 　． 试题解析: 6. 【分析】先根据二次函数图象上点的坐标特征求出A、B两点的坐标，再过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，则C（4，1），AC=4﹣1=3，根据平移的性质以及曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），得出AA′=3，然后根据平移规律即可求解． 【解答】 解：∵函数y=（x﹣2）2+1的图象过点A（1，m），B（4，n）， ∴m=（1﹣2）2+1=1，n=（4﹣2）2+1=3， ∴A（1，1），B（4，3）， 过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，则C（4，1）， ∴AC=4﹣1=3， ∵曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分）， ∴AC•AA′=3AA′=9， ∴AA′=3， 即将函数y=（x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移3个单位长度得到一条新函数的图象， ∴新图象的函数表达式是y=（x﹣2）2+4． 16. 【分析】由题意A（﹣4，4），B（2，2），可知OA⊥OB，建立如图新的坐标系（OB为x′轴，OA为y′轴，利用方程组求出M、N的坐标，根据S△OMN=S△OBM﹣S△OBN计算即可． 【解答】解：∵A（﹣4，4），B（2，2）， ∴OA⊥OB， 建立如图新的坐标系，OB为x′轴，OA为y′轴． 在新的坐标系中，A（0，8），B（4，0）， ∴直线AB解析式为y′=﹣2x′+8， 由，解得或， ∴M（1，6），N（3，2）， ∴S△OMN=S△OBM﹣S△OBN=•4•6﹣•4•2=8，故答案为8 （2018）14.如图，点为矩形的边的中点，反比例函数的图象经过点，交边于点.若的面积为1，则 。 试题解析: 【分析】由 的面积为1，构造方程的思路，可设点D（a, ），在后面的计算过程中a将被消掉；所以在解反比例函数中的k时设另外的未知数时依然能解出k的值。 【解答】解：∵点D在反比例函数 的图象上，∴设点D（a, ），∵点D是AB的中点， ∴B（2a, ）， ∵点E与B的纵坐标相同，且点E在反比例函数 的图象上， ∴点E（2a, ） 则BD=a,BE= , ∴ ， 则k=4 故答案为：4 （2019）（压轴）16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣1的图象分别交x、y轴于点A、B，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式是　 　 ． 试题解析: 【分析】根据已知条件得到A（，0），B（0，﹣1），求得OA＝，OB＝1，过A作AF⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E，得到AB＝AF，根据全等三角形的性质得到AE＝OB＝1，EF＝OA＝，求得F（，﹣），设直线BC的函数表达式为：y＝kx+b，解方程组于是得到结论． 【解答】解：∵一次函数y＝2x﹣1的图象分别交x、y轴于点A、B， ∴令x＝0，得y＝﹣2，令y＝0，则x＝1， ∴A（，0），B（0，﹣1）， ∴OA＝，OB＝1， 过A作AF⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E， ∵∠ABC＝45°， ∴△ABF是等腰直角三角形， ∴AB＝AF， ∵∠OAB+∠ABO+∠OAB+∠EAF＝90°， ∴∠ABO＝∠EAF， ∴△ABO≌△AFE（AAS）， ∴AE＝OB＝1，EF＝OA＝， ∴F（，﹣）， 设直线BC的函数表达式为：y＝kx+b， ∴， ∴， ∴直线BC的函数表达式为：y＝x﹣1， 故答案为：y＝x﹣1． （2020）16.如图，已知点 ，直线 轴，垂足为