专题10 直角三角形与勾股定理应用（3年汇编）（四川专用）2024-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 汇编四川2024-2026中考真题及模拟题，聚焦直角三角形性质与勾股定理应用，含考情分析及命题规律，适配中考复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空/解答|多题，覆盖选择（含压轴）、填空、解答|直角三角形性质（两锐角互余、斜边中线）、勾股定理（赵爽弦图、实际应用）|融入古代数学情境（葭生池中）、几何变换（旋转平移），设置动点分类讨论压轴题，贴合四川中考命题趋势。|

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题10直角三角形与勾股定理应用 3年真题1年模拟答案版 三年真题分类园 品 考点01直角三角形 1.B 2.(1)证明：：AB⊥AC, .∠BAC=90° ∠ACB=90°-∠B=90°-50°=40°， ∠1=40°， ∠ACB=∠I」 .AD II BC (2)解：由(1)得ADBC, 又：AD=BC, .四边形ABCD是平行四边形， .∠D=∠B=50°， .∠D的度数为50° 3.(1)45 (2)24.1m (解：：直线与P 所在O0相切于点P, .∠AP0=90°， :∠PA0=45°. ∠P0N=90°-∠PA0=45°： (2)解：：直 B0与PN所在o 相切于点， 1/20 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠B00=90°， ∠QB0=60° cos∠0B0=cos60°=Bg_1 B02 设BQ=x,BO=2x. 00=OP=BOP-BO=3x ,AB=8.0m, A0=AB+BO=(8.0+2x)m 在RtAAP0中，∠A=45°， sin 4=sin45=Po A02, V3x2 .8.0+2x2, 解得：x=(46+8)m :OP=V5x(4v6+8=(122+83)m 45π×12V2+85 PW的弧长为： ≈24.lm 180 答： PN 的弧长为24.1m 4.5 解：根据题意，得4C=VAB2+BC=10 由点D为斜边AC的中点， :BD=4C=5 21 5.A 2/20 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6.c 7.(1)①2：②4 CF4 ②)PF=5 (1)①如图所示， 为等腰直角三角形， B ◇ M C .·△ABC .∠A=∠B=45°， 又：∠0=45°， .∠ANP=90°， ∴.△APN为等腰直角三角形， ∠NPM=90」 .PN⊥AC.PM⊥BC .PN∥BC,PM∥AC, P为AB中点， .M、N为BC、AC的中点， .BC=AC=4. .:.CM=BM=2; 故答案为：2. ②连结CP, N P 2 B M .·∠ACB=90° AC=BC=4 3/20 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠A=45°， 又：点P为AB的中点， :CP⊥AB,CP=AP=BP,∠PCM=∠A=45°， .0+∠2=90°， 又：∠1+∠2=90°， ∴.∠1=0」 ∴.△APN≌△PCM(ASA) ∴CM=AN, ∴.CM+CN=AN+CN=AC=4 (2)第一种情况如图所示，0°<0<90°，设CN=x.则CM=2x, .2x+x=4, 4 .CM=2x=8 , 过点P作PH⊥BC于H交MN于点G, B M H :a-c-2 ∠PHB=90° MH=8-2=2 3 3 又∠ACB=90°， PH∥AC, .AGMH∽△NMC, GH NC MHCM' 4/20 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4 GH3 28, 33 6w, PG=PH-GH=2-1-5 33 又PH∥AC .△NCF∽aGPF, CF CN 454 PF PG 33 5: 第二种情况：如右图所示，90°≤0<135°，连接PM、PN, D M H 易知，当0=90°时，点M、N分别与B、A重合，与题意不符，不成立； △PMB≌△PCN(ASA) 由(1)可知： ∴BM=CW, ∴.CM-CN=CM-BM=BC=4, 又：CM=2CW, ∴.CN=4.CM=8. 可得MH=6,CH=2,CN=4, .·PC∥AN .AMHG∽AMCN HG MH 6 CN MC 8' HG=4x6=3 8 5/20 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .PG=PH+HG=2+3=5, 又：PH⊥BC,∠ACB=90°， :PG∥AC, ∴.aNCF∽aGPF, CF CN 4 PF PG 5 8.B 9.22 10.2 11.A V17+1 12.2 13.D 14.B 15.B 16.A 17.B 18.D 19.C 题的关键。 20.A 21.D 22.A 23.A 24.D 考点02勾股定理应用 1.C 2.100 6/20 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3,（1)解：如图3，在RDrC中，am∠DrC=an503°-DC 1.20 FC .DC≈20×1.20=24米， 在RtEFC中，tan∠EFC=tan58o= EC ≈1.60 FC .EC≈20×1.60=32米， .DE=EC-DC=32-24=8(米)， 答：DE的长为8米： (2)解：如图2，设M 的圆心为0，连接 NO,CO B ,圆弧下面有25根柱子，每两根柱子之间的距离为4米， ,MN=(25-)x4=96米， ,点D是MW的中点， :DN=2MN=48米，OD LMN, 2 设⊙0的半径为r米，则OD=0E-DE=《-8》米， 在RtAODN中，OD2+DN2=ON2, .（-82+482=2 解得r=148, 答：正大门穹顶圆弧所在圆的半径为148米. 7/20 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.(1)解：如图，过点A作A'B⊥OA,垂足为点B. O B 10-→ 地面 设秋千绳索的长度为x尺。 由题可知，OA=OA=x,AB=4,A'B=10, ..OB=OA-AB=x-4. 在Rt△OAB中，由勾股定理得：AB2+OB2=OA :10+6x-4= 解得x=14.5 答：秋千绳索的长度为14.5尺. (2)能. 由题可知，∠OPA'=∠ODA"=90°，OA=OA”=OA, P h A 在Rt△OAP中，OP=OA'.cosa=OA.cosa, 同理，O0=0A”·cosB=0A:cosB. .00-OP=h 8/20 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ..OA.cos B-0A.cosa=h :0A= cos B-cosa' 5.(1)解：，AB=6,BC=8,∠ABC=90°， :AC=VAB+BC=10米 CD=24米，AD=26米， AC2=100,CD2=576,AD2=676 .AD2=AC2+CD2 .△ACD是直角三角形，且∠ACD=90° :S+=4BxBC+)4CxCD-x6x8+x10x24=14平方米： 2 2 1+20%)x=1.2x (2)设甲菜苗的单价为x元每株，乙菜苗的单价为 元每株，根据题意得， 4+200=1080 200 x 1.2x 解得：x=0.5,经检验x=0.5是原方程的解，且符合题意， 乙菜苗的单价为1.2x=1.2×0.5=0.6元， 答：甲菜苗的单价为0.5元每株，乙菜苗的单价为0.6元每株 200 (3)甲种菜苗的数量为0.5 =400(株)，成活数为400×75%=300（株） a器号 乙种菜苗的数量为0.6 1080=1800(株)，成活数为1800×95%=1710（株） 108012 Gz=171019 2、12 :3219 Gin>G 9/20 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 V一年模孤练测尽 1.A 2.D 3.D 4.C 5. 6.B 7.D 8.D 9.C 10.11V5 5v2 11.4 12.6V3 5π5V5 13.64 14.V34 24+6V36V3+24 4 16.3 17.32 18.4v2-1 10120 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2V5 19.3-1或 20.05 2D=39520 D=395+20 55或 55: 6)5 (1)解：，△ACB∽aCDE, .∠A=∠DCE,∠ACB=∠CDE=90°， :AB∥CE, .∠ADC=∠DCE, .∠ADC=∠A, .AC=CD. AC 1 CB2 .设AC=CD=k,则CB=2h, 由勾股定理得4B=VAC2+CB2-VR+(2k=5k AB5k-5 ..CD k AC 1 (2):CB-2,AC=1 CB=2, 由勾股定理得B=VAC2+CB=VP+2=V5 :si∠A=BC-2w5 ΓAB5, 过点C作CH⊥AB,过点E作EF⊥AB, 11/20 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A HD B F E :sin∠1=CH-25CH AC51, CH=25 5, AH= 5, AD 4 BE5, ∴.设AD=4a,则BE=5a, LDM=a-M=4o5D8=AB-D=5-a .△ACB∽aCDE, CD AC 1 DECB2,∠CDE=∠ACB=90°， .∠CDH+∠EDF=90°， .∠CDH+∠DCH=90°， ∴.∠DCH=∠EDF .∠CHD=∠EFD=90°， .ACDHADEF, CH DH CD 1 DF EF DE 2' V5 EF-2DH-8a- 5, DF-2CH= 5 12/20 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 邵=DF-DB=42（N5-a=a 5, .EF2+BF2=BE2, -25+a-5r-6o 解得965 4v5-5 42= 55, 55, D-5-4加=5-4455.305200-5-=5-4k455_395+20 55 55或1 55 55 (3),△ACB∽ACDE .∠ABC=∠DEC. ∴.CD所对的角∠ABC=∠DEC, D、B、E、C四点共圆， 设AE与CB交于点F,如图所示： DB=DB, ∴.∠DCB=∠DEB. .∠DCB=∠DEB=∠AEC, .∠AEC+∠AED=∠BED+∠AED,即LCED=∠AEB, ,EC=CE,∠CDE=90°， ∴.∠CDE=∠CBE=90°. ,∠ACB=90° :.∠ACB=LCBE, ,AC∥BE, 13120 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠FEB=∠CAE」 :.∠FEB=∠CAE=∠CED .∠CAF=∠CBD :∠ACB=∠FCA, .△ACF∽△BCA, CF AC 1 ·ACCB2' 设CF=b,则AC=2b,BC=4b, :MB=256,AF=56 BF=CB-CF=3b .AC∥BE, △ACF△EBF, CF AC b 1 BFBE=36=3 .'BE=6b, CE=CR+BE=23 ,△ACBACDE SACDE CE213 .S。ABC AB)5. 21.(1)∠ACB=90°， .∠A+∠B=90°， CD⊥AB」 ∴.∠ADC=90° ∴.∠A+∠ACD=90° ∴.∠B=∠ACD ∵∠A=∠A, ∴△ABCAACD」 :AB、AC AC AD' .AC2=AD.AB 14120 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)△ABF是直角三角形；理由如下： :∠ACF=∠AEC,∠CAF=∠EAC, ∴.△AFCD△ACE, AC AF AE AC .AC2=AE·AF 由(1)得AC2=ADAB, .AE·AF=ADAB, AE AD AB AF ,∠EAD=∠BAF, ∴△AED△ABF, .∠AFB=∠ADE=90°， ∴△ABF是直角三角形： 4v21 (3)线段CP的长为7 (1)略 (2)略 (3)解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4,∠ABC=30°， AC=24B=2,BC=AB-AC=4-2=23, ·:∠CBP=∠CQB∠BCP=∠QCB ∴.△CBPr△CQB BC CP BP CO BC BO' :.CP.CQ=BC2=(25=12, 由旋转可得，AP=AC=2, 15/20 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 如图，以点4为圆心，2为半径作O1,则C.P都在01上，延长C1交O1于B,在CB上取C ,C2=3 连接只0 B P Po=2AC=4 则 ∴.CP·CQ=12=CP.CQ CPCP co ce, ∠PCP=∠QCQ ∴.△CPAOCO .∠CO0=∠CPE :CR为o4 “的直径， ∴.∠CPP=90° .∠C9Q=90° 点”在过点8且与 Ce “垂直的直线上运动， 过点B作 Q'⊥Q ,垂足为，连接9 CO 垂线段最短， 16120 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 OO' BO BO BO 当点在点处时，最小，即的最小值为的长， :∠CQQ'=∠QCB=∠BQ'9=90° ·四边形 COO'B 是矩形， ∴BQ'=CQ=3 在R1aCQ,Q中，根据勾股定理得：Cg=VBC2+B0=25+32=V2i, BO CO V21 即当线段的长度取得最小值时，线段的长为 .CP.CO=12 :Cp=12-4W21 √217， 4v21 即当线段BO的长度取得最小值时，线段CP的长为7， 22.1)30 (②)解：四边形BFEP为菱形， 证明：由(1)知∠BAD=30° 由折叠的性质得∠BEP=∠BAD=30°，∠ABP=∠EBP, ..EPI BF, .∠EBF=∠BEP=30°， :BC⊥AB即∠ABC=90°， .∠ABE=∠ABC-∠EBF=60°， A∠ABP=∠EBP=)∠ABD=30， 2 ∴.∠BEP=∠EBP=30°， .PE=PB: :∠AFB=90°-∠BAD=60°，∠PBF=∠EBP+∠EBF=60° 17/20 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.△BFP是等边三角形， .BF =PB, ∴.BF=PE, :EPI‖BF, .四边形BFEP是平行四边形， PB=BF, ∴四边形BFEP是菱形： 6)2或6-25 (1)解：过点D作DG⊥AB于点G, b 则∠AGD=90°， ABIICD,BC⊥AB,DG⊥AB, ∴.四边形BCDG是矩形， .DG=BC AB=AD=2BC. G=c-0 DG :.AD =sin∠BAD= 2 ∴.∠BAD=30°； (2)略 (3)解：AB=AD=2BCBC=V5 4B=4D=2 18120 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 当BE⊥AD时，如图，设BE,AD交于点T, D B 则∠ATB=90°， 5∠1BD=0-∠BMD-60r,Br-4B=5, 由折叠的性质可得∠ABP=∠EBP=30°、 PT=BTan∠EBP=V5x 号1，=a8-r=3, ∴.AP=AT-PT=3-1=2; 当BE⊥AB时，则BE与BC重合，如图， E D P H 由折叠的性质可得2ABP=∠EBP-ABC=4, 过点P作PH⊥AB于点H,则∠PHB=90°， .∠BPH=45°， ∴.△BPH是等腰直角三角形， 设BH=PH=x, ∠BAD=30°，∠AHP=90°AB=2BC=2N3 AP=2PH =2x 4H AB-BH=25-x .AP2=PH2+AH2, 19120 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4x2=2+23-x 解得x=3-5或x=-3-5(合去)， :P=2x=6-2V5 综上，P的长为2或6-25 20120 专题10 直角三角形与勾股定理应用 3年真题1年模拟 考点分类 四川考情（2024-2026） 命题规律 考点 01 直角三角形性质 2026 年：凉山、乐山、自贡、宜宾、遂宁（5 地，选择 + 填空）2025 年：巴中、宜宾、攀枝花、德阳、广安、成都、绵阳（7 地，含解答压轴小问）2024 年：广元、成都、绵阳、资阳、眉山、南充、泸州、自贡（8 地，填空压轴、选择） 择、填空高频，也会出解答小问、填空压轴。①核心性质：直角三角形两锐角互余、斜边上中线等于斜边一半，属于高频基础考点；②常见载体：旋转、平移、折叠背景，结合坐标系求点坐标；③特殊直角三角形：含 30°、45° 等腰直角三角形，边长、角度计算；④综合考法：和中位线、垂直平分线、相似结合，设置多结论判断题；⑤压轴小题：动点旋转、分类讨论，作为填空压轴，区分度较高；⑥常作为工具，融入圆、四边形综合大题。 考点 02 勾股定理及其实际应用 2026 年：自贡（赵爽弦图），各地模拟大量考查实际模型2025 年：宜宾（实际应用解答）、绵阳2024 年：广元、资阳、眉山、南充、泸州、自贡（弦图、古数学问题） 小题必考，偶尔出现解答应用题。①经典模型：赵爽弦图是四川热门素材，利用面积关系考查勾股定理；②古代数学情境：葭生池中、秋千问题，列方程求解边长；③几何体表面最短路径：长方体、圆柱侧面展开求最短距离；④实际应用：测高度、测圆弧半径，解直角三角形 + 勾股定理联立方程；⑤网格题型：网格中求线段长、三角函数值；⑥易错点：未指明斜边时，直角三角形两边长求第三边要分类讨论；⑦极少单独出整道压轴大题，更多作为计算工具配合相似、几何变换使用。 考点01 直角三角形 1．（2026·四川凉山·中考真题）如图，，，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂直定义得出，由平行线的性质得出，从而可得出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． 2．（2025·四川巴中·中考真题）如图，已知，，，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ， ， ， ∴． (2)的度数为． 【分析】本题考查直角三角形的两个锐角互余，平行线的判定，平行四边形的判定和性质． （1）由直角三角形的两个锐角互余，结合已知可得，即可证得结论； （2）由（1）得，结合已知可证四边形是平行四边形，从而可得的度数． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴的度数为． 3．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，扇形为某运动场内的投掷区，所在圆的圆心为O、A、B、N、O在同一直线上．直线与所在相切于点．此时测得；从点处沿方向前进8.0米到达B处．直线与所在相切于点，此时测得．（参考数据：） (1)求圆心角的度数； (2)求的弧长（结果精确到米）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，圆的切线的性质，弧长公式，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）由圆的切线的性质得到，再由直角三角形锐角互余即可求解； （2）先解，设，，再解得到，求出，求出半径，再由弧长公式即可求解． 【详解】（1）解：∵直线与所在相切于点， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵直线与所在相切于点， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴的弧长为：， 答：的弧长为． 4．（2026·四川乐山·中考真题）如图，在 中，， ， ，点为斜边的中点，则_________． 【答案】5 【分析】根据勾股定理得到，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可； 【详解】解：根据题意，得， 由点为斜边的中点， ． 5．（2026·四川自贡·中考真题）如图，中，，，平行于轴，将绕原点顺时针旋转到位置，交轴于点，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据旋转的性质，可得到对应边、对应角相等，再结合平行线的性质，推导出与轴的位置关系，进而利用直角三角形的三角函数关系求出的长度，确定点的坐标． 【详解】解：在中，，， ， 由旋转的性质得，，，，，轴， ， ， 中，， 在轴的负半轴， 的坐标为． 6．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，在四边形中，，对角线与相交于点分别为的中点，．以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查直角三角形，等腰三角形，相似三角形，垂直平分线； 连接，证出是的垂直平分线，即可判断，根据题意得到，，在中，即可判断；根据题意证出是的垂直平分线，即可判断的长度；先证出，，即可判断，即可求出． 【详解】解：如图所示，连接． ∵，分别为的中点， ∴， ∴． ∵N是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴．故A正确； ∵， ∴， ∴．         ∵， ∴．         ∵， ∴． 在中， ， ∴．故B正确； ∵在， ， ∵， ， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴，故C错误； ∵， ， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故D正确； 故选：C． 7．（2025·四川巴中·中考真题）如图，在中，，，点P是边AB中点，，． (1)点N在线段AC上，点M在线段CB上． ①当时，CM的值是______； ②当时，求的值； (2)点N在射线上，点M在射线CB上．当时，直线MN与射线PC相交于点F，若，求的值． 【答案】(1)①2；②4 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，准确理解题目中给的条件，作出辅助线求解是解题的关键． （1）①根据题意可得此时为等腰直角三角形，作图求解即可； ②连结，根据直角三角行斜边上的中线等于斜边的一半求出，进而证明，即可得解． （2）分两种情况讨论，第一种情况，，设．则，求出的长，过点作于交于点，分别证明和即可得解；第二种情况，，连接，分别证明和即可得解． 【详解】（1）①如图所示， 为等腰直角三角形， ， 又， ， 为等腰直角三角形， ， ，， ，， 为中点， 、为、的中点， ， ； 故答案为：2． ②连结， ，， ， 又点为的中点， ，，， ， 又， ， ， ． （2）第一种情况如图所示，，设．则， ， ， ， 过点作于交于点， ，， ， 又， ， ， ， ， ， ， 又 ， ； 第二种情况：如右图所示，，连接， 易知，当时，点、分别与、重合，与题意不符，不成立； 由（1）可知：， ， ， 又， ．， 可得，，， ， ， ， ， ， 又，， ， ， ． 8．（2025·四川德阳·中考真题）如图，在中，，将沿方向向右平移至处，使恰好过边的中点D，连接，若，则（  ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形斜边中线性质和平移的性质，熟练掌握直角三角形斜边中线的性质是解题的关键． 根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，结合，得，由平移得到，根据平移对应线段相等，可知，进而得． 【详解】在中，，是中点， ∴， ∵， ∴， ∵沿方向向右平移至， ∴， 故选：B． 9．（2025·四川广安·中考真题）如图，在等腰中，，，D是边上的一个动点，连接，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质，垂线段最短，由勾股定理可得，由垂线段最短可得，当时，有最小值，则此时点D为的中点，则由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得． 【详解】解：∵在等腰中，，， ∴， 由垂线段最短可知，当时，有最小值， ∵， ∴当时，点D为的中点， ∴此时， 故答案为：． 10．（2025·四川成都·中考真题）正六边形的边长为1，则对角线的长为________． 【答案】2 【分析】本题考查正多边形的内角，等边对等角，含30度角的直角三角形的性质，如解图，连接，求出正六边形的一个内角的度数，等边对等角，求出的度数，进而推出为含30度角的直角三角形，进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵正六边形， ∴，， ∴， ∴， ∵正六边形为轴对称图形， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2． 11．（2024·四川广元·中考真题）如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为点D，E，连接，点D恰好落在线段上，若，，则的长为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】此题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，由旋转得，，，推出是等腰直角三角形，，过点A作于点H，得到，利用勾股定理求出的长． 【详解】解：由旋转得，， ∴，，， ∴是等腰直角三角形，， 过点A作于点H， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 12．（2024·四川成都·中考真题）如图，在中，，是的一条角平分线，为中点，连接．若，，则______．    【答案】 【分析】连接，过E作于F，设，，根据直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的性质证得，，，进而利用三角形的外角性质和三角形的中位线性质得到，，证明，利用相似三角形的性质和勾股定理得到；根据角平分线的定义和相似三角形的判定与性质证明得到，进而得到关于x的一元二次方程，进而求解即可． 【详解】解：连接，过E作于F，设，，    ∵，为中点， ∴，又， ∴，，， ∴，， ∵， ∴，则，又， ∴， ∴，， ∴， 则； ∵是的一条角平分线， ∴，又， ∴， ∴ ∴，则， ∴，即， 解得（负值已舍去）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的中位线性质、三角形的外角性质、角平分线的定义以及解一元二次方程等知识，是一道填空压轴题，有一定的难度，熟练掌握三角形相关知识是解答的关键． 13．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，，，点、分别是上的点，连接、交于点．若，，，，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于点，利用相似三角形的性质求出和的长，最后在中利用勾股定理求解． 【详解】解：过点作于点， ，， ∴， ，， ，， ， 设， ∵ ∴，即， ， ∵， ∴，即， ， ， 解得 ，， ∴， ， 在中， ． 14．（2026·四川遂宁·中考真题）如图，在中，，点M是边的中点．将绕着点A逆时针旋转到的位置，点D恰好在边上，点是点M的对应点，则两点间的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，由题意易得，则有，然后根据旋转的性质可知，进而根据三角函数及勾股定理可进行求解． 【详解】解：过点作，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵点M是边的中点， ∴， 由旋转可知：， ∴， ∴， ∴． 15．（2026·四川自贡·中考真题）我国清代数学家李善兰不仅创译了“代数”“函数”等科学名词，还利用出入相补的原理证明了勾股定理．如图所示，图中两个阴影正方形的面积分别记作，，正方形的面积记作，则，与的关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取点，，容易证明，则，由勾股定理可得，从而得到． 【详解】解：如图，取点，， 根据题意可知，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∵，，， ∴． 16．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点，将向左平移1个单位长度，则平移后点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等边三角形的性质，坐标系中图形的平移，根据等边三角形的性质求出点坐标是解题关键． 过点B作的垂线，通过点A，C的坐标确定与坐标轴的位置关系，再利用等边三角形的性质求出点B的坐标，利用坐标系中图形的平移规律求解即可． 【详解】解：如图，过点B作，垂足为D， ∵，， ∴轴， ∴轴， ∵是等边三角形，， ∴， 又， ∴，， ∴， ， ∴， ∴在向左平移1个单位长度后，点B的坐标为， 故选：A． 17．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，在中，，，，过点A作直线，点是直线上一动点，连结，过点作，连结使．当最短时，则的长度为（　　）    A． B．4 C． D． 【答案】B 【分析】在点A的右侧取一点G，使得，连结，，过点F作于点H，先根据相似三角形的判定与性质，推得都是定值，点F在射线上运动，从而得到当时，最短，并画出图形，再通过设未知数列方程，逐步求得和的长，最后根据相似三角形的性质，即可求得答案． 【详解】解：如图1，在点A的右侧取一点G，使得，连结，，过点F作于点H， 直线，， ， ，， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ，， ， ， 和都是定值， 点F在射线上运动， 当时，最短（如图2所示）， 延长，相交于点N， ， 四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ， ， ， ， ， ， 解得， ，，，， ，， ， ， ， 解得， 当最短时，则的长度为4． 故选：B．    【点睛】本题考查了几何最值问题，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，探究线段最短时的几何图形是解题的关键． 18．（2024·四川绵阳·中考真题）如图，在四边形中，，，，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作，，，垂足分别为H，G，I，构造，，，由等腰三角形和相似三角形对应边成比例得出，，以及，再由勾股定理求出和关于的表达式，通过比较建立关于的方程，解方程即可． 【详解】解：如图，作，，，垂足分别为H，G，I， ，， ， 又， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ，，， 四边形为矩形， ， ，， ， ， 在和中，， ， ， ， ， ， ， 在和中，，， ， ， ，，， ， 解得， 故选D． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质等，添加辅助线构造相似三角形是解题的关键． 19．（2024·四川资阳·中考真题）第届国际数学教育大会（）会标如图所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（，，，）和一个小正方形拼成的大正方形．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则，根据全等三角形，正方形的性质可得，再根据勾股定理可得，即可求出的值． 【详解】解：根据题意，设，则， ∵，四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形，正方形的性质，三角函数值的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 20．（2024·四川广元·中考真题）如图①，在中，，点P从点A出发沿A→C→B以1的速度匀速运动至点B，图②是点P运动时，的面积随时间x（s）变化的函数图象，则该三角形的斜边的长为（    ） A．5 B．7 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据函数图象获取信息，完全平方公式，勾股定理， 由图象可知，面积最大值为6，此时当点P运动到点C，得到，由图象可知， 根据勾股定理，结合完全平方公式即可求解． 【详解】解：由图象可知，面积最大值为6 由题意可得，当点P运动到点C时，的面积最大， ∴，即， 由图象可知，当时，，此时点P运动到点B， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A 21．（2024·四川眉山·中考真题）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（    ） A．24 B．36 C．40 D．44 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，设直角三角形的两直角边为 ， ，斜边为 ，根据图1，结合已知条件得到，，进而求出的值，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，直角三角形的两直角边为，，斜边为， 图1中大正方形的面积是24， ， 小正方形的面积是4， ， ， 图2中最大的正方形的面积； 故选：D． 22．（2024·四川南充·中考真题）如图，已知线段，按以下步骤作图：①过点B作，使，连接；②以点C为圆心，以长为半径画弧，交于点D；③以点A为圆心，以长为半径画弧，交于点E．若，则m的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，根据垂直定义可得，再根据，设，然后在中，利用勾股定理可得，再根据题意可得：，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵，设 ∴， ∴， 由题意得：， ∴， ∵， ∴， 故选：A 23．（2024·四川泸州·中考真题）宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形沿对角线翻折，点落在点处，交于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角函数等知识点，利用黄金比例表示各线段的长是解题的关键． 设宽，根据比例表示长，证明，在中，利用勾股定理即可求得结果． 【详解】解：设宽为， ∵宽与长的比是， ∴长为：， 由折叠的性质可知，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设， 在中，， 变形得：， ，， ∴， 故选A． 24．（2024·四川自贡·中考真题）如图，等边钢架的立柱于点D，长．现将钢架立柱缩短成，．则新钢架减少用钢（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形的应用．利用三角函数的定义分别求得，，，利用新钢架减少用钢，代入数据计算即可求解． 【详解】解：∵等边，于点D，长， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴新钢架减少用钢 ， 故选：D． 考点02 勾股定理应用 1．“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即，，，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．13 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的实际应用．设，则，由勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】解：设，则， 由题意，得：， 解得：，即， 故选：C． 2．如图，一只蚂蚁沿长方体石凳表面从顶点P爬到顶点Q，蚂蚁爬行的最短距离为_______． 【答案】 【分析】分三种情况讨论，分别根据勾股定理计算，找出最短距离即可． 【详解】解：如图，将长方体的前面和右面展开， ∴； 如图，将长方体的前面和上面展开， ∴， 如图，将长方体的下面和右面展开， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴蚂蚁爬行的最短距离为． 3．宜宾已发展成为川南铁路交通枢纽．某校九年级学习小组带着皮尺和测角仪来到高铁宜宾西站（如图），高铁宜宾西站的正大门穹顶刚好是一段圆弧，圆弧下面有根柱子，每两根柱子之间的距离为米（如图），组长站在最中间柱子正下方，背对车站向正前方走了米到达点，转身测得、两点的仰角分别是和（不计测角仪的高度）（如图）． (1)求的长； (2)求正大门穹顶圆弧所在圆的半径． （结果保留整数．参考数据：，，，，，．） 【答案】(1)米 (2)米 【分析】分别解，，求出，进而根据解答即可求解； 设的圆心为，连接，根据题意可得，设的半径为米，则米，在中根据勾股定理建立方程即可求解． 【详解】（1）解：如图，在中，， ∴米， 在中，， ∴米， ∴（米）， 答：的长为米； （2）解：如图，设的圆心为，连接， ∵圆弧下面有根柱子，每两根柱子之间的距离为米， ∴米， ∵点是的中点， ∴米，， 设的半径为米，则米， 在中，， ∴， 解得， 答：正大门穹顶圆弧所在圆的半径为米． 4．我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的： 平地秋千未起，踏板一尺离地． 送行二步与人齐，五尺人高曾记． 仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉． 良工高士素好奇，算出索长有几？ 词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直） (1)如图1，请你根据词意计算秋千绳索的长度； (2)如图2，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的地方，两次位置的高度差．根据上述条件能否求出秋千绳索的长度？如果能，请用含α、β和h的式子表示；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)秋千绳索的长度为尺 (2)能， 【分析】该题主要考查了勾股定理的应用以及解直角三角形的应用，解题的关键是掌握以上知识点． （1）如图，过点作，垂足为点B．设秋千绳索的长度为x尺．由题可知，，，，得出．在中，由勾股定理解得，即可求解； （2）由题可知，，．在中，得出，同理，．再根据，列等式即可求出． 【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为点B． 设秋千绳索的长度为x尺． 由题可知，，，， ∴． 在中，由勾股定理得： ∴． 解得． 答：秋千绳索的长度为尺． （2）能． 由题可知，，． 在中，， 同理，． ∵， ∴． ∴． 5．综合与实践 背景 某校建设劳动教育基地，在校园内开辟了一块四边形空地，用来种植甲、乙两种蔬菜．如图，实践小组的同学沿着小路（忽略小路宽度）把空地分成两个区域，其中Ⅰ区域（）种植甲种蔬菜，Ⅱ区域（）种植乙种蔬菜． 素材一 用测量工具测得：米，米，米，米，； 素材二 用元购进甲种菜苗，元购进乙种菜苗，且乙种菜苗的单价比甲种菜苗的单价多，乙种菜苗数量比甲种菜苗数量的倍多株； 素材三 经过一段时间的培育，甲种菜苗成活率为，乙种菜苗成活率为． 完成以下任务 (1)任务一：求四边形空地的面积； (2)任务二：求购进甲、乙两种菜苗的单价； (3)任务三：从成活率看，菜苗实际成本，比较大小：________（填“”“”或“”） 【答案】(1)平方米 (2)甲菜苗的单价为元每株，乙菜苗的单价为元每株 (3) 【分析】（1）根据勾股定理求得，进而根据勾股定理证明是直角三角形，且，再根据三角形的面积公式进行计算，将两个三角形的面积相加即可求解； （2）设甲菜苗的单价为元每株，乙菜苗的单价为元每株，根据题意列出分式方程，解方程，即可求解． （3）根据菜苗的实际成本公式计算，再比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴米 ∵米，米， ∴ ∴ ∴是直角三角形，且 ∴平方米； （2）设甲菜苗的单价为元每株，乙菜苗的单价为元每株，根据题意得， 解得：，经检验是原方程的解，且符合题意， ∴乙菜苗的单价为元， 答：甲菜苗的单价为元每株，乙菜苗的单价为元每株 （3）甲种菜苗的数量为（株），成活数为（株） 乙种菜苗的数量为（株），成活数为（株） ∵ ∴ 1．（2026·四川自贡·模拟预测）如图为商场某品牌椅子的侧面图，，与地面平行，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据邻补角互补求出的度数，再根据平行线的性质求出的度数，最后根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 2．（2026·四川广元·二模）以为中心点的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的刻度线与斜边重合，点为斜边上一点，作射线交于点，如果点所对应的读数为，那么 (    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半和圆的概念得出点在上，根据圆周角定理得出，即可求解． 【详解】解：根据题意可得，， ∵，点是的中点，为的直径， ∴点到点的距离等于的半径， 即点在上， ∴， ∴． 3．（2026·四川宜宾·模拟预测）如图，在等腰直角中，，M、N分别为、上的点，，P为上的点，且，，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】先求出，再分两种情况：①当点是的中点时，②当点不是的中点时，求出的度数，然后求出的度数，由此即可得． 【详解】解：∵在等腰直角中，， ∴， ∵， ∴． ①如图，当点是的中点时， ∴，符合题意， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图1和图2，当点不是的中点时，取的中点，连接， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴在图1中，，此时，不满足三角形的内角和定理，舍去； 在图2中，， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，的度数为或． 4．（2026·四川广元·二模）如图，网格图中每个小正方形的边长都为1．A，B，C是网格线的交点，的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在中，利用勾股定理求出的长，再求出的值即可得到答案． 【详解】解：如图所示，在中，， ∴， ∴，即． 5．（25-26八年级下·陕西延安·阶段检测）若直角三角形的两边长为3和4，则第三边长为（   ） A．5或 B．1 C．7 D．25 【答案】A 【分析】分两种情况利用勾股定理计算第三边长即可． 【详解】解：当长为的边是斜边，长为的边是直角边时， 由勾股定理可得：第三边长为； 当长为和的边都是直角边，第三边为斜边时， 由勾股定理得：第三边长为； 综上所述，第三边长为或． 6．（2026·四川泸州·一模）如图，点、点、点都在正方形网格的格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理可得，，，进而可证，代入数值到即可求解． 【详解】解：由勾股定理可得，，， ∵， ∴， ∴， ∴． 7．（25-26九年级下·浙江温州·开学考试）在直角坐标系中，将点绕原点按逆时针方向旋转到，则的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据题意作平面直角坐标系，过点作轴于点，由得，，逆时针旋转后，，与轴夹角变为，即落在轴正半轴，即可得出的坐标． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ∵ ， ∴ ，， 由勾股定理得 ， 又∵ 是等腰直角三角形， ∴ ， 由旋转的性质得 ，旋转角， ∴ ， ∴ 点在轴正半轴上， ∴ 的坐标为， 故选：D． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的旋转变换，题目未给出图形，解题时需根据题意画出图形，再结合勾股定理与旋转性质进行分析． 8．（24-25八年级下·内蒙古鄂尔多斯·阶段检测）如图，已知，，，，分别以的三条边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是勾股定理，含30度角直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 根据含30度角直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，然后根据阴影部分的面积之和为，再求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 由勾股定理得，， 以的三条边为直径作半圆， ∴阴影部分的面积之和为 ． 故选：D． 9．（2026·四川雅安·一模）如图①是第14届数学教育大会会标，中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图②所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，已知大正方形的边长为25，小正方形的边长为17，则的长为（  　  ）    A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据全等三角形的性质得到，推出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∵小正方形的边长为17， ∴， ∴，即， ∵大正方形的边长为25，， ∴， ∴ ∴或（舍去）． 10．（2026·四川雅安·一模）如图，太阳光线与地面成的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是，则皮球的直径是______ ． 【答案】 【分析】设两条光线分别切皮球于点，交地面于点，由题意可得， ，过点作于点 ，根据平行线的性质，矩形的判定和性质可得，四边形是矩形 ， ，根据太阳光线与地面成的角，余角的性质，求出，利用解直角三角形进行解答，即可． 【详解】解：如图，设两条光线分别切皮球于点，交地面于点， ∴ ， 过点作于点 ， ∵太阳光线是平行的 ， ∴ ， ∵是皮球直径，光线与球相切， ∴ ， 又∵， ∴ ， ∴四边形是矩形 ， ∴ ， ∵太阳光线与地面成的角， ∴ ， ∴， ∴在中，， ∴， ∴皮球的直径是 ． 11．（2026·四川成都·三模）如图在中，，，．D是上一动点，以为斜边向右侧作等腰，使，连接，则线段的最小值为________． 【答案】 【分析】过作，使，即构造等腰直角，则，由此可得到，从而得到，当取得最小值时，取得最小值，根据垂线段最短，得到时，最小，解直角三角形，如图2，即可解决． 【详解】解：如图1，过作，使，连接， 是等腰直角三角形， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当取得最小值时，取得最小值， 故当时，取得最小值，如图2， ，，， ， ，， ， ， 即的最小值为． 12．（2026·四川广元·三模）如图，四边形是菱形，，且，P为对角线上任意一点（不与C重合），则的最小值为____________． 【答案】 【分析】结合菱形性质得到，过点作于，过作于，根据30度角的性质得到，可知，根据三角函数求出的值即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 过点作于，过作于， 则， 即， 在中，，， ∴， 即的最小值为． 13．（2026·四川乐山·一模）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，点、、均在小正方形的顶点上，且都在同一个圆的圆弧上，是上一点，连接，．若，则阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】先根据网格中线段的位置关系，利用圆周角定理确定为圆的直径，再用勾股定理求出的长度，得到圆的半径；接着根据已知角度和半径相等，判定为等边三角形；最后通过扇形的面积减去的面积，求出阴影部分的面积． 【详解】解：∵点、、在同一圆的圆弧上，且由网格可知， ∴， ∴是的直径． 设圆心为点，过点作于点，连接， ∵在中，，， ∴， ∴的半径 ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵过点作于点， ∴ ∵在中，， ∴ ∵， ∴， ∴ 14．（2026·四川成都·三模）一个圆柱形饮料罐底面周长为5cm，高为3cm，一只蚂蚁从底面圆周上的点A处出发，沿圆柱侧面爬行一周到点B处．则蚂蚁爬行的最短路径长度为______cm． 【答案】 【分析】 将圆柱侧面展开为矩形，蚂蚁爬行的最短路径即为矩形的对角线长度，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：圆柱形饮料罐底面周长为，高为， 将圆柱侧面展开得到一个矩形，该矩形的长为，宽为， 由勾股定理得，蚂蚁爬行的最短路径长度为． 15．（2026·四川成都·二模）台球是一项室内体育运动，兼具竞技性和娱乐性．如图是某场台球比赛开局前球的摆放情况：颗球刚好整齐紧密地排列在等边三角形框内，其示意图如图所示，在图中，若每个小圆的直径为，则这个等边三角形的边长为______． 【答案】/ 【分析】根据题意，构造出矩形及直角三角形，利用矩形性质、含直角三角形性质及勾股定理求出相关线段长即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 四边形是矩形，则， 在和中， ， ， ， 在中，，，，则，由勾股定理可得， 由对称性可知，， 这个等边三角形的边长． 16．（2026·四川成都·二模）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点，分别是边，与网格线的交点，连接，则的长是______． 【答案】 【分析】根据题意证明，进而根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∵, ∴ 解得： 17．（2026·四川南充·二模）如图，在矩形中，点E是的中点，点F是的中点，，，则的长为______． 【答案】 【分析】过点F作，交于M，，交于，可先得的长，则，再证四边形为矩形， 可得，由勾股定理可得的长． 【详解】解：过点F作，交于M，，交于， 四边形为矩形， ，，． 点E是的中点， ． ． 点F是的中点， ． ， ，， ． ， 四边形为矩形， ． ． ． ． 18．（2026·四川内江·一模）如图，在中，是平面上一动点，连接，是的中点，连接，当的最小值为______． 【答案】 【分析】取的中点，连接，利用三角形的中位线性质得到，再利用勾股定理和直角三角形的中线性质求得，然后利用三角形三边关系得到，当共线时取等号，进而得到答案． 【详解】解：取的中点，连接，如图， ∵是的中点，点是的中点， ∴是的中位线， 又， ， ∵在中，， ， ， ∵， 当共线时取等号，如图 的最小值为． 19．（2026·四川绵阳·一模）如图所示，在中，，，点E是边上不与端点重合的一个动点，作交于点D，将沿折叠，点B的对应点为F，当为等腰三角形时，则的长为______． 【答案】或 【分析】当时，过点Ｆ作于点Ｍ，设，则，得到；设，则，则，求解即可． 【详解】解：，， ， 沿折叠，点B的对应点为F， ，， 为等腰三角形， 当时， ， ， 过点Ｆ作于点Ｍ， ， ， ， ， 设，则， 则， 根据题意，得， ， 解得； 当时， ， ， ， ， 设，则， 则， ， 解得； 20．（2026·四川成都·模拟预测）在三角形中，，，点在线段上，，连接． (1)如图，若平行，求； (2)如图，若，，求线段的长度； (3)如图，若，求的值． 【答案】(1) (2)或； (3) 【分析】（1）根据相似三角形的性质得出，，再由平行线的性质得出，确定，得出，设，则，利用勾股定理的，即可求解； （2）根据题意得出，，，过点C作，过点E作，确定，，设，则，，利用相似三角形的性质得出，，，然后利用勾股定理建立方程求解即可； （3）根据题意得出D、B、E、C四点共圆，然后利用圆周角定理得出，确定，再由题意得出，确定，利用相似三角形的判定和性质得出，，设，则，，结合勾股定理及相似三角形得出，即可求解 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，则， 由勾股定理得， ∴； （2）∵，， ∴， 由勾股定理得， ∴， 过点C作，过点E作， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴或； （3）∵， ∴， ∴所对的角， ∴D、B、E、C四点共圆， 设与交于点F，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 21．（2026·四川成都·三模）【问题背景】 (1)如图1，在中，，于．求证：． 【问题迁移】 (2)如图2，在中，，于，为线段上一点，连接并延长至点，连接，．当时，请判断的形状，并说明理由． 【问题延伸】 (3)如图3，中，，，，将边绕点旋转得到线段，在射线上取一点，连接，．若，当线段的长度最小时，求线段的长． 【答案】(1)， ， ， ， ， ， ， ， ， ； (2)是直角三角形；理由如下： ，， ， ， ， 由（1）得， ， ， ， ， ， 是直角三角形； (3)线段的长为 【分析】（1）根据余角的性质证明，再根据相似三角形的性质进行证明即可； （2）证明，得出，证明，得出，即可得出答案； （3）证明，得出，求出的值，以点为圆心，为半径作，则，都在上，延长交于，在上取，连接，证明，得出，由直径所对的圆周角是直角可得，说明点在过点且与垂直的直线上运动，过点作，垂足为，连接，根据垂线段最短，根据勾股定理求出结果即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：在中，，，， ，， ，， ， ， ， 由旋转可得，， 如图，以点为圆心，为半径作，则，都在上，延长交于，在上取，连接， 则， ， ， ， ， ， 为的直径， ， ， 点在过点且与垂直的直线上运动， 过点作，垂足为，连接， 垂线段最短， 当点在点处时，最小，即的最小值为的长， ， 四边形是矩形， ， 在中，根据勾股定理得：， 即当线段的长度取得最小值时，线段的长为． ， ， 即当线段的长度取得最小值时，线段的长为． 22．（2026·四川乐山·一模）在四边形中，，，且，．点是线段上一动点（点不与点重合），连接，作关于直线的对称，点的对应点为点． (1)观察猜想：如图1， ； (2)探究证明：如图2，设与的延长线相交于点，连接，当时，判断四边形的形状，并说明理由； (3)拓展延伸：已知，当与四边形的边垂直时，求的长． 【答案】(1) (2)解：四边形为菱形， 证明：由（1）知， 由折叠的性质得，， ∵， ∴， ∵即， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； (3)或 【分析】（1）过点作于点，根据平行线间距离处处相等得到，结合已知可得，即可求解； （2）由（1）知，由折叠的性质得，，易证，，得到；证明是等边三角形，得到，进而证明四边形是平行四边形，结合即可得出结论； （3）根据题意先求出，当时，则，，由折叠的性质可得，求出，，，由即可求解；当时，则与重合，由折叠的性质可得，过点作于点，易证是等腰直角三角形，设，则，，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：过点作于点， 则， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）解：∵，， ∴， 当时，如图，设交于点， 则， ∴，， 由折叠的性质可得， ∴，， ∴； 当时，则与重合，如图， 由折叠的性质可得， 过点作于点，则， ∴， ∴是等腰直角三角形， 设， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 综上，的长为或． 试卷第1页，共3页 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 直角三角形与勾股定理应用 3年真题1年模拟 考点分类 四川考情（2024-2026） 命题规律 考点 01 直角三角形性质 2026 年：凉山、乐山、自贡、宜宾、遂宁（5 地，选择 + 填空）2025 年：巴中、宜宾、攀枝花、德阳、广安、成都、绵阳（7 地，含解答压轴小问）2024 年：广元、成都、绵阳、资阳、眉山、南充、泸州、自贡（8 地，填空压轴、选择） 择、填空高频，也会出解答小问、填空压轴。①核心性质：直角三角形两锐角互余、斜边上中线等于斜边一半，属于高频基础考点；②常见载体：旋转、平移、折叠背景，结合坐标系求点坐标；③特殊直角三角形：含 30°、45° 等腰直角三角形，边长、角度计算；④综合考法：和中位线、垂直平分线、相似结合，设置多结论判断题；⑤压轴小题：动点旋转、分类讨论，作为填空压轴，区分度较高；⑥常作为工具，融入圆、四边形综合大题。 考点 02 勾股定理及其实际应用 2026 年：自贡（赵爽弦图），各地模拟大量考查实际模型2025 年：宜宾（实际应用解答）、绵阳2024 年：广元、资阳、眉山、南充、泸州、自贡（弦图、古数学问题） 小题必考，偶尔出现解答应用题。①经典模型：赵爽弦图是四川热门素材，利用面积关系考查勾股定理；②古代数学情境：葭生池中、秋千问题，列方程求解边长；③几何体表面最短路径：长方体、圆柱侧面展开求最短距离；④实际应用：测高度、测圆弧半径，解直角三角形 + 勾股定理联立方程；⑤网格题型：网格中求线段长、三角函数值；⑥易错点：未指明斜边时，直角三角形两边长求第三边要分类讨论；⑦极少单独出整道压轴大题，更多作为计算工具配合相似、几何变换使用。 考点01 直角三角形 1．（2026·四川凉山·中考真题）如图，，，若，则（     ） A． B． C． D． 2．（2025·四川巴中·中考真题）如图，已知，，，． (1)求证：； (2)求的度数． 3．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，扇形为某运动场内的投掷区，所在圆的圆心为O、A、B、N、O在同一直线上．直线与所在相切于点．此时测得；从点处沿方向前进8.0米到达B处．直线与所在相切于点，此时测得．（参考数据：） (1)求圆心角的度数； (2)求的弧长（结果精确到米）． 4．（2026·四川乐山·中考真题）如图，在 中，， ， ，点为斜边的中点，则_________． 5．（2026·四川自贡·中考真题）如图，中，，，平行于轴，将绕原点顺时针旋转到位置，交轴于点，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 6．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，在四边形中，，对角线与相交于点分别为的中点，．以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·四川巴中·中考真题）如图，在中，，，点P是边AB中点，，． (1)点N在线段AC上，点M在线段CB上． ①当时，CM的值是______； ②当时，求的值； (2)点N在射线上，点M在射线CB上．当时，直线MN与射线PC相交于点F，若，求的值． 8．（2025·四川德阳·中考真题）如图，在中，，将沿方向向右平移至处，使恰好过边的中点D，连接，若，则（  ） A．3 B．2 C．1 D． 9．（2025·四川广安·中考真题）如图，在等腰中，，，D是边上的一个动点，连接，则的最小值为__________． 10．（2025·四川成都·中考真题）正六边形的边长为1，则对角线的长为________． 11．（2024·四川广元·中考真题）如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为点D，E，连接，点D恰好落在线段上，若，，则的长为（    ） A． B． C．2 D． 12．（2024·四川成都·中考真题）如图，在中，，是的一条角平分线，为中点，连接．若，，则______．    13．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，，，点、分别是上的点，连接、交于点．若，，，，则的长是（     ） A． B． C． D． 14．（2026·四川遂宁·中考真题）如图，在中，，点M是边的中点．将绕着点A逆时针旋转到的位置，点D恰好在边上，点是点M的对应点，则两点间的距离为（     ） A． B． C． D． ∵， ∴， ∴， 15．（2026·四川自贡·中考真题）我国清代数学家李善兰不仅创译了“代数”“函数”等科学名词，还利用出入相补的原理证明了勾股定理．如图所示，图中两个阴影正方形的面积分别记作，，正方形的面积记作，则，与的关系是（     ） A． B． C． D． 16．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点，将向左平移1个单位长度，则平移后点的坐标为（   ） A． B． C． D． 17．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，在中，，，，过点A作直线，点是直线上一动点，连结，过点作，连结使．当最短时，则的长度为（　　）    A． B．4 C． D． 18．（2024·四川绵阳·中考真题）如图，在四边形中，，，，，，，则（   ） A． B． C． D． 19．（2024·四川资阳·中考真题）第届国际数学教育大会（）会标如图所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（，，，）和一个小正方形拼成的大正方形．若，则（   ） A． B． C． D． 20．（2024·四川广元·中考真题）如图①，在中，，点P从点A出发沿A→C→B以1的速度匀速运动至点B，图②是点P运动时，的面积随时间x（s）变化的函数图象，则该三角形的斜边的长为（    ） A．5 B．7 C． D． 21．（2024·四川眉山·中考真题）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（    ） A．24 B．36 C．40 D．44 22．（2024·四川南充·中考真题）如图，已知线段，按以下步骤作图：①过点B作，使，连接；②以点C为圆心，以长为半径画弧，交于点D；③以点A为圆心，以长为半径画弧，交于点E．若，则m的值为（    ）    A． B． C． D． 23．（2024·四川泸州·中考真题）宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形沿对角线翻折，点落在点处，交于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 24．（2024·四川自贡·中考真题）如图，等边钢架的立柱于点D，长．现将钢架立柱缩短成，．则新钢架减少用钢（    ） A． B． C． D． 考点02 勾股定理应用 1．“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即，，，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．13 2．如图，一只蚂蚁沿长方体石凳表面从顶点P爬到顶点Q，蚂蚁爬行的最短距离为_______． 3．宜宾已发展成为川南铁路交通枢纽．某校九年级学习小组带着皮尺和测角仪来到高铁宜宾西站（如图），高铁宜宾西站的正大门穹顶刚好是一段圆弧，圆弧下面有根柱子，每两根柱子之间的距离为米（如图），组长站在最中间柱子正下方，背对车站向正前方走了米到达点，转身测得、两点的仰角分别是和（不计测角仪的高度）（如图）． (1)求的长； (2)求正大门穹顶圆弧所在圆的半径． （结果保留整数．参考数据：，，，，，．） 4．我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的： 平地秋千未起，踏板一尺离地． 送行二步与人齐，五尺人高曾记． 仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉． 良工高士素好奇，算出索长有几？ 词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直） (1)如图1，请你根据词意计算秋千绳索的长度； (2)如图2，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的地方，两次位置的高度差．根据上述条件能否求出秋千绳索的长度？如果能，请用含α、β和h的式子表示；如果不能，请说明理由． 5．综合与实践 背景 某校建设劳动教育基地，在校园内开辟了一块四边形空地，用来种植甲、乙两种蔬菜．如图，实践小组的同学沿着小路（忽略小路宽度）把空地分成两个区域，其中Ⅰ区域（）种植甲种蔬菜，Ⅱ区域（）种植乙种蔬菜． 素材一 用测量工具测得：米，米，米，米，； 素材二 用元购进甲种菜苗，元购进乙种菜苗，且乙种菜苗的单价比甲种菜苗的单价多，乙种菜苗数量比甲种菜苗数量的倍多株； 素材三 经过一段时间的培育，甲种菜苗成活率为，乙种菜苗成活率为． 完成以下任务 (1)任务一：求四边形空地的面积； (2)任务二：求购进甲、乙两种菜苗的单价； (3)任务三：从成活率看，菜苗实际成本，比较大小：________（填“”“”或“”） 1．（2026·四川自贡·模拟预测）如图为商场某品牌椅子的侧面图，，与地面平行，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·四川广元·二模）以为中心点的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的刻度线与斜边重合，点为斜边上一点，作射线交于点，如果点所对应的读数为，那么 (    ） A． B． C． D． 3．（2026·四川宜宾·模拟预测）如图，在等腰直角中，，M、N分别为、上的点，，P为上的点，且，，则（    ） A． B． C． D．或 4．（2026·四川广元·二模）如图，网格图中每个小正方形的边长都为1．A，B，C是网格线的交点，的值为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·陕西延安·阶段检测）若直角三角形的两边长为3和4，则第三边长为（   ） A．5或 B．1 C．7 D．25 6．（2026·四川泸州·一模）如图，点、点、点都在正方形网格的格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级下·浙江温州·开学考试）在直角坐标系中，将点绕原点按逆时针方向旋转到，则的坐标是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·内蒙古鄂尔多斯·阶段检测）如图，已知，，，，分别以的三条边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积（   ） A．3 B． C． D． 9．（2026·四川雅安·一模）如图①是第14届数学教育大会会标，中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图②所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，已知大正方形的边长为25，小正方形的边长为17，则的长为（  　  ）    A．5 B．6 C．7 D．8 10．（2026·四川雅安·一模）如图，太阳光线与地面成的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是，则皮球的直径是______ ． 11．（2026·四川成都·三模）如图在中，，，．D是上一动点，以为斜边向右侧作等腰，使，连接，则线段的最小值为________． 12．（2026·四川广元·三模）如图，四边形是菱形，，且，P为对角线上任意一点（不与C重合），则的最小值为____________． 13．（2026·四川乐山·一模）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，点、、均在小正方形的顶点上，且都在同一个圆的圆弧上，是上一点，连接，．若，则阴影部分的面积为________． 14．（2026·四川成都·三模）一个圆柱形饮料罐底面周长为5cm，高为3cm，一只蚂蚁从底面圆周上的点A处出发，沿圆柱侧面爬行一周到点B处．则蚂蚁爬行的最短路径长度为______cm． 15．（2026·四川成都·二模）台球是一项室内体育运动，兼具竞技性和娱乐性．如图是某场台球比赛开局前球的摆放情况：颗球刚好整齐紧密地排列在等边三角形框内，其示意图如图所示，在图中，若每个小圆的直径为，则这个等边三角形的边长为______． 16．（2026·四川成都·二模）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点，分别是边，与网格线的交点，连接，则的长是______． 17．（2026·四川南充·二模）如图，在矩形中，点E是的中点，点F是的中点，，，则的长为______． 18．（2026·四川内江·一模）如图，在中，是平面上一动点，连接，是的中点，连接，当的最小值为______． 19．（2026·四川绵阳·一模）如图所示，在中，，，点E是边上不与端点重合的一个动点，作交于点D，将沿折叠，点B的对应点为F，当为等腰三角形时，则的长为______． 20．（2026·四川成都·模拟预测）在三角形中，，，点在线段上，，连接． (1)如图，若平行，求； (2)如图，若，，求线段的长度； (3)如图，若，求的值． 21．（2026·四川成都·三模）【问题背景】 (1)如图1，在中，，于．求证：． 【问题迁移】 (2)如图2，在中，，于，为线段上一点，连接并延长至点，连接，．当时，请判断的形状，并说明理由． 【问题延伸】 (3)如图3，中，，，，将边绕点旋转得到线段，在射线上取一点，连接，．若，当线段的长度最小时，求线段的长． 22．（2026·四川乐山·一模）在四边形中，，，且，．点是线段上一动点（点不与点重合），连接，作关于直线的对称，点的对应点为点． (1)观察猜想：如图1， ； (2)探究证明：如图2，设与的延长线相交于点，连接，当时，判断四边形的形状，并说明理由； (3)拓展延伸：已知，当与四边形的边垂直时，求的长． 试卷第1页，共3页 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $