专题（十三）三角形，多边形专题

专题（十三） 三角形，多边形 （2016）7．如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 18．如图，已知菱形ABCD的边长2，∠A=60°，点E、F分别在边AB、AD上，若将△AEF沿直线EF折叠，使得点A恰好落在CD边的中点G处，则EF=______． 试题解析: 7. 【分析】直接利用平行四边形的性质得出AD∥BC，AB∥DC，再结合相似三角形的判定方法得出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥DC， ∴△AEF∽△CBF，△AEF∽△DEC， ∴与△AEF相似的三角形有2个． 故答案为：C． 18.（压轴） 【分析】延长CD，过点F作FM⊥CD于点M，连接GB、BD，作FH⊥AE交于点H，由菱形的性质和已知条件得出∠MFD=30°，设MD=x，则DF=2x，FM=x，得出MG=x+1，由勾股定理得出（x+1）2+（x）2=（2﹣2x）2，解方程得出DF=0.6，AF=1.4，求出AH=AF=0.7，FH=，证明△DCB是等边三角形，得出BG⊥CD，由勾股定理求出BG=，设BE=y，则GE=2﹣y，由勾股定理得出（）2+y2=（2﹣y）2，解方程求出y=0.25，得出AE、EH，再由勾股定理求出EF即可． 【解答】解：延长CD，过点F作FM⊥CD于点M，连接GB、BD，作FH⊥AE交于点H，如图所示： ∵∠A=60°，四边形ABCD是菱形， ∴∠MDF=60°， ∴∠MFD=30°， 设MD=x，则DF=2x，FM=x， ∵DG=1，∴MG=x+1， ∴（x+1）2+（x）2=（2﹣2x）2， 解得：x=0.3， ∴DF=0.6，AF=1.4， ∴AH=AF=0.7，FH=AF•sin∠A=1.4×=， ∵CD=BC，∠C=60°， ∴△DCB是等边三角形， ∵G是CD的中点， ∴BG⊥CD， ∵BC=2，GC=1， ∴BG=， 设BE=y，则GE=2﹣y， ∴（）2+y2=（2﹣y）2， 解得：y=0.25， ∴AE=1.75， ∴EH=AE﹣AH=1.75﹣0.7=1.05， ∴EF===． 故答案为：． （2018）（压轴）16.如图，在直角中，，，，、分别为边、上的两个动点，若要使是等腰三角形且是直角三角形，则 ． 试题解析: 【分析】要同时使 是等腰三角形且 是直角三角形，要先找突破口，可先确定当△APQ是等腰三角形时，再讨论△BPQ是直角三角形可能的情况；或者先确定△BPQ是直角三角形，再讨论△APQ是等腰三角形的情况；此题先确定△BPQ是直角三角形容易一些：△BPQ是直角三角形有两种情况，根据相似的判定和性质可得到△BQP与△BCA相似，可得到△BQP三边之比，设出未知数表示出三边的长度，再讨论△APQ是等腰三角形时，是哪两条相等，构造方程解出未知数即可，最后求出AQ。 【解答】解：当△BPQ是直角三角形时，有两种情况：∠BPQ=90度，∠BQP=90度。在直角 中， ， ， ，则AB=10，AC：BC：AB=3:4:5.( 1 )当∠BPQ=90度，则△BPQ~△BCA，则PQ：BP：BQ=AC：BC：AB=3:4:5， 设PQ=3x，则BP=4x，BQ=5x，AQ=AB-BQ=10-5x， 此时∠AQP为钝角，则当△APQ是等腰三角形时，只有AQ=PQ， 则10-5x=3x，解得x= ， 则AQ=10-5x= ； （ 2 ）当∠BQP =90度，则△BQP~△BCA，则PQ：BQ：BP=AC：BC：AB=3:4:5， 设PQ=3x，则BQ=4x，BP=5x，AQ=AB-BQ=10-4x， 此时∠AQP为直角，则当△APQ是等腰三角形时，只有AQ=PQ， 则10-4x=3x，解得x= ， 则AQ=10-4x= ； 故答案为： 或 （2019）4．如图，点D、E分别是△ABC边BA、BC的中点，AC＝3，则DE的长为（　　） A．2 B． C．3 D． 15．如图，在△ABC中，BC＝+，∠C＝45°，AB＝AC，则AC的长为　 　． 试题解析: 4. 【分析】直接利用中位线的定义得出DE是△ABC的中位线，进而利用中位线的性质得出答案． 【解答】解：∵点D、E分别是△ABC的边BA、BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE＝AC＝1.5．故答案为：D． 15．【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为点D，设AC＝x，则AB＝x，在Rt△ACD中，通过解直角三角形可得出AD，CD的长，在Rt△ABD中，利用勾股定理可得出BD的长，由BC＝BD+CD结合BC＝+可求出x的值，此题得解． 【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足