专题06 利用导数研究函数的性质-2021年高考数学二轮优化提升专题训练（新高考地区专用）【学科网名师堂】

专题06 利用导数研究函数的性质 【知识框图】 【自主热身，归纳总结】 1、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线 在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则 A． B．a=e，b=1 C． D． ， 【答案】D 【解析】∵ ∴切线的斜率 ， ， 将 代入 ，得 . 故选D． 2、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】设函数 .若 为奇函数，则曲线 在点 处的切线方程为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数是奇函数，所以，解得，所以，， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为，化简可得. 故选D. 该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果. 3、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】曲线 在点 处的切线方程为____________． 【答案】 【解析】 所以切线的斜率 ， 则曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ． 4、【2018年高考全国Ⅱ卷理数】曲线 在点 处的切线方程为__________． 【答案】 【解析】 则所求的切线方程为. 5、【2018年高考全国Ⅲ卷理数】曲线 在点 处的切线的斜率为 ，则 ________． 【答案】 【解析】 ，则 ，所以. 【名师点睛】本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，属于基础题. 6、（2020届山东省滨州市高三上期末）曲线在点处的切线的方程为__________． 【答案】 【解析】 7、（2020届山东省九校高三上学期联考）直线与曲线相切，则__________. 【答案】 【解析】函数的导函数， 设切点坐标，则，解得：. 故答案为： 8、【2019年高考天津理数】已知 ，设函数 若关于 的不等式 在 上恒成立，则 的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当 时， 恒成立； 当 时， 恒成立， 令 ， 则 ， 当 ，即 时取等号， ∴ ，则 . 当 时， ，即 恒成立， 令 ，则 ， 当 时， ，函数 单调递增， 当 时， ，函数 单调递减， 则 时， 取得最小值 ， ∴ ， 综上可知， 的取值范围是 . 故选C. 9、（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数处有极小值，求函数在区间上的最大值． 【解析】（1）当时，，， 所以，又，所以曲线在点处切线方程为，即. （2）因为， 因为函数处有极小值，所以， 所以 由，得或， 当或时，， 当时，， 所以在，上是增函数，在上是减函数， 因为，， 所以的最大值为. 【问题探究，变式训练】 题型一 函数图像的切线问题 知识点拨：利用导数研究函数的切线问题，要区分在与过的不同，要是过某一点一定要设切点坐标，然后根据具体的条件得到方程，然后解出参数即可。 例1、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】函数 的图像在点 处的切线方程为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ， ， ， ， 因此，所求切线的方程为 ，即 . 故选：B． 【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题. 变式1、【2020年高考全国III卷理数】若直线l与曲线y= 和x2+y2= 都相切，则l的方程为 A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y= x+1 D．y= x+ 【答案】D 【解析】设直线 在曲线 上的切点为 ，则 ， 函数 的导数为 ，则直线 的斜率 ， 设直线 的方程为 ，即 ， 由于直线 与圆 相切，则 ， 两边平方并整理得 ，解得 ， （舍）， 则直线 的方程为 ，即 . 故选：D． 变式2、【2019年高考江苏】在平面直角坐标系 中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是 ▲ . 【答案】 【解析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值，可得切点坐标. 设点 ，则 . 又 ，当 时， ， 则曲线 在点A处的切线为 ， 即 ， 将点 代入，得 ，即 ， 考察函数 ， 当 时， ，当 时， ， 且 ， 当 时， 单调递增， 注意到 ，故 存在唯一的实数根 ， 此时 ，故点 的坐标为 . 导数运算及切线的理解应注意的问题： 一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆． 二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点． 变式3、（2017苏州一调）若直线 为曲线 的一条切线，则实数 的值是 ． 【