专题07 导数的综合运用-2021年高考数学二轮优化提升专题训练（新高考地区专用）【学科网名师堂】

专题07 导数的综合运用 【知识框图】 【自主热身，归纳总结】 1、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知在区间上有极值点，实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】,由于函数在上有极值点，所以在上有零点.所以，解得. 故选：D. 2、【2019年高考浙江】已知 ，函数 ．若函数 恰有3个零点，则 A．a<–1，b<0 B．a<–1，b>0 C．a>–1，b<0 D．a>–1，b>0 【答案】C 【解析】当x＜0时，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b＝0，得x， 则y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一个零点； 当x≥0时，y＝f（x）﹣ax﹣bx3（a+1）x2+ax﹣ax﹣bx3（a+1）x2﹣b， ， 当a+1≤0，即a≤﹣1时，y′≥0，y＝f（x）﹣ax﹣b在[0，+∞）上单调递增， 则y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一个零点，不合题意； 当a+1＞0，即a>﹣1时，令y′＞0得x∈(a+1，+∞），此时函数单调递增， 令y′＜0得x∈[0，a+1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点. 根据题意，函数y＝f（x）﹣ax﹣b恰有3个零点⇔函数y＝f（x）﹣ax﹣b在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点， 如图： ∴0且， 解得b＜0，1﹣a＞0，b（a+1）3， 则a>–1，b<0. 故选C． 3、(2020届山东省潍坊市高三上学期统考）函数若函数只有一个零点，则可能取的值有（ ） A．2 B． C．0 D．1 【答案】ABC 【解析】∵只有一个零点， ∴函数与函数有一个交点， 作函数函数与函数的图象如下， 结合图象可知，当时；函数与函数有一个交点； 当时，，可得，令可得，所以函数在时，直线与相切，可得. 综合得：或. 故选：ABC. 4、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知函数（e为自然对数的底），若且有四个零点，则实数m的取值可以为（ ） A．1 B．e C．2e D．3e 【答案】CD 【解析】因为，可得，即为偶函数， 由题意可得时，有两个零点， 当时，， 即时，， 由，可得， 由相切，设切点为， 的导数为，可得切线的斜率为， 可得切线的方程为， 由切线经过点，可得， 解得：或（舍去），即有切线的斜率为， 故， 故选：CD. 5、（2020届山东省临沂市高三上期末）已知函数的定义域为，则（ ） A．为奇函数 B．在上单调递增 C．恰有4个极大值点 D．有且仅有4个极值点 【答案】BD 【解析】因为的定义域为，所以是非奇非偶函数， ， 当时，，则在上单调递增. 显然，令，得， 分别作出，在区间上的图象， 由图可知，这两个函数的图象在区间上共有4个公共点，且两图象在这些公共点上都不相切，故在区间上的极值点的个数为4，且只有2个极大值点. 故选：BD. 6、【2019年高考北京理数】设函数 （a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________． 【答案】 【解析】首先由奇函数的定义得到关于 的恒等式，据此可得 的值，然后利用 可得a的取值范围. 若函数 为奇函数，则 即 ， 即 对任意的 恒成立， 则 ，得 . 若函数 是R上的增函数，则 在R上恒成立， 即 在R上恒成立， 又 ，则 ， 即实数 的取值范围是 . 7、（2020届山东省德州市高三上期末）已知函数（为常数）. （1）若在处的切线与直线垂直，求的值； （2）若，讨论函数的单调性； 【解析】（1）由题意，，则， 由于函数的图象在处的切线与直线垂直， 则，所以，因此，； （2），则. ①若时，， 当或时，，时，， 所以在和单调递增，在单调递减， ②若时，，对，恒成立，在单调递增； ③若时，， 当或时，，时，， 所以在和单调递增，在单调递减； 【问题探究，变式训练】 题型一、函数单调性的讨论 知识点拨：利用导数研究函数的单调性主要是通过多函数求导，研究导函数的正负的问题，对于单调性的讨论问题时导数中经常考查的问题，讨论时要注意讨论的依据和标准，做到不重复不遗漏。 例1、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数 . （1）当a=1时，讨论f（x）的单调性； （2）当x≥0时，f（x）≥ x3+1，求a的取值范围. 【解析】（1）当a=1时，f（x）=ex+x2–x，则 =ex+2x–1． 故当x∈（–∞，0）时， <0；当x∈（0，+∞）时， >0．所以f（x）在（–∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增． （2） 等价于 . 设函数 ，则 . （i）若2a+1≤0，即 ，则当x∈（0，2）时， >0.所以g（x）在（0，2）单调递增，而g（0）=1，故当x∈（0，2）