4.1 第二课时　数列的递推公式与前n项和（作业） -【上好课】2020-2021学年高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第二册）

4．1 第二课时　数列的递推公式与前n项和 [A级　基础巩固] 1．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，则a5等于(　　) A．15　　　　　　　　　　 B．16 C．31 D．32 解析：选C　∵数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1， ∴a2＝2×1＋1＝3，a3＝2×3＋1＝7，a4＝2×7＋1＝15，a5＝2×15＋1＝31. 2．若数列{an}满足an＋1＝(n∈N*)，且a1＝1，则a17＝(　　) A．13 B．14 C．15 D．16 解析：选A　由an＋1＝得an＋1－an＝，a17＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a17－a16)＝1＋×16＝13，故选A. 3．(多选)数列{an}中，an＝－n2＋11n，则此数列最大项是(　　 ) A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 解析：选BC　an＝－n2＋11n＝－2＋， ∵n∈N＋，∴当n＝5或n＝6时，an取最大值．故选B、C. 4．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为： 第一步：构造数列1，，，，…，.① 第二步：将数列①的各项乘n，得到数列(记为)a1，a2，a3，…，an. 则n≥2时，a1a2＋a2a3＋…＋an－1an＝(　　) A．n2 B．(n－1)2 C．n(n－1) D．n(n＋1) 解析：选C　由题意得ak＝.k≥2时，ak－1ak＝＝n2.∴n≥2时，a1a2＋a2a3＋…＋an－1an＝n2＝n2＝n(n－1)．故选C. 5．由1,3,5，…，2n－1，…构成数列{an}，数列{bn}满足b1＝2，当n≥2时，bn＝a，则b6的值是(　　) A．9 B．17 C．33 D．65 解析：选C　∵bn＝a，∴b2＝a＝a2＝3，b3＝a＝a3＝5，b4＝a＝a5＝9，b5＝a＝a9＝17，b6＝a＝a17＝33. 6．函数f(x)定义如下表，数列{xn}满足x0＝5，且对任意的自然数均有xn＋1＝f(xn)，则x2 021＝________. x 1 2 3 4 5 f(x) 5 1 3 4 2 解析：根据定义可得出：x1＝f(x0)＝2，x2＝f(x1)＝1，x3＝f(x2)＝5，x4＝f(x3)＝2，…，所以周期为3，故x2 021＝673×3＋x2＝1. 答案：1 7．如图(1)是第七届国际数学教育大会(简称ICME­7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图(2)的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图(2)中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为an＝________. 解析：因为OA1＝1，OA2＝，OA3＝，…，OAn＝，…，所以a1＝1，a2＝，a3＝，…，an＝. 答案： 8．数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＋Sn－1＝2n－1(n≥2)，且S2＝3，则a1＋a3的值为________． 解析：∵Sn＋Sn－1＝2n－1(n≥2)，令n＝2， 得S2＋S1＝3，由S2＝3得a1＝S1＝0， 令n＝3，得S3＋S2＝5，所以S3＝2， 则a3＝S3－S2＝－1，所以a1＋a3＝0＋(－1)＝－1. 答案：－1 9．根据下列条件，写出数列的前四项，并写出它的一个通项公式： (1)a1＝0，an＋1＝an＋2n－1(n∈N*)； (2)a1＝1，an＋1＝an＋(n∈N*)； (3)a1＝2，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n∈N*)． 解：(1)a1＝0，a2＝1，a3＝4，a4＝9.它的一个通项公式为an＝(n－1)2. (2)a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝.它的一个通项公式为an＝. (3)a1＝2，a2＝3，a3＝5，a4＝9.它的一个通项公式为an＝2n－1＋1. 10．已知函数f(x)＝x－.数列{an}满足f(an)＝－2n，且an>0.求数列{an}的通项公式． 解：∵f(x)＝x－，∴f(an)＝an－， ∵f(an)＝－2n.∴an－＝－2n，即a＋2nan－1＝0. ∴an＝－n±.∵an>0，∴an＝－n. [B级　综合运用] 11．已知数列{an}的首项为2，且数列{an}满足an＋1＝，数列{an}的前n项的和为Sn，则S1 008等于(　　) A．504 B．294 C．－294 D．－504 解析：选C　∵a1＝2，an＋1＝，∴a2＝，a3＝－，a4＝－3，a5＝2，…，∴数列{an}的周期为4，且a1＋a2＋a3＋a4＝－，∴S1 008＝S4×252＝252×＝－294. 12．(多选)数列{Fn}：1,1,2,