专题05 利用函数的图像探究函数的性质-2021年高考数学二轮优化提升专题训练（新高考地区专用）【学科网名师堂】

专题05 利用函数的图像探究函数的性质 【知识框图】 【自主热身，归纳总结】 1、（2020·山东省东明县实验中学月考）已知函数. 若函数有3个零点，则实数的取值范围是________;若有2个零点，则________． 【答案】 或 【解析】 由题意，函数有3个零点，转化为的根有3个， 转化为和的交点有3个， 画出函数的图象，如图所示，则直线与其有3个公共点， 又抛物线的顶点为，由图可知实数的取值范围是． 若有2个零点，则或．故答案为：；或． 2、(2018南京、盐城一模）设函数f(x)是偶函数，当x≥0时，f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(x（3－x），,0≤x≤3，,－\f(3,x)＋1，,x>3，)))若函数y＝f(x)－m有四个不同的零点，则实数m的取值范围是________． 【答案】：. eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(9,4)))　 【解析】先画出x≥0时的函数图像，再利用偶函数的对称性得到x<0时的图像．令y＝0得f(x)＝m.令y＝f(x)，y＝m，由图像可得要有四个不同的零点，则m∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(9,4))). 3、(2017苏锡常镇二模）已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4，　　　 　x≥m，,x2＋4x－3， x<m.))若函数g(x)＝f(x)－2x恰有三个不同的零点，则实数m的取值范围是________． 【答案】(1,2]　 解法1 问题转化为g(x)＝0，即方程f(x)＝2x有三个不同的解，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≥m，,4＝2x))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x<m，,x2＋4x－3＝2x，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≥m，,x＝2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x<m，,x＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x<m，,x＝－3.))因为方程f(x)＝2x有三个不同的解，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2≥m，,1<m，,－3<m，))解得1<m≤2. 解法2 由题意知函数g(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4－2x，　　　x≥m，,x2＋2x－3， x<m.))画出函数y＝4－2x和y＝x2＋2x－3的图像，可知函数g(x)的三个零点为－3，1,2，因此可判断m在1与2之间．当m＝1时，图像不含点(1,0)，不合题意；当m＝2时，图像包含点(2,0)，符合题意．所以1<m≤2. 4、(2018南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）设函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(e－x－\f(1,2)，,x>0，,x3－3mx－2，,x≤0)))(其中e为自然对数的底数)有3个不同的零点，则实数m的取值范围是________． 【答案】：. (1，＋∞)　 解法1(直接法) 当x>0时，令f(x)＝e－x－eq \f(1,2)＝0，解得x＝ln2>0，此时函数f(x)有1个零点，因为要求函数f(x)在R上有3个不同的零点，则当x≤0时，f(x)＝x3－3mx－2有2个不同的零点，因为f′(x)＝3x2－3m，令f′(x)＝0，则x2－m＝0，若m≤0，则函数f(x)为增函数，不合题意，故m>0，所以函数f(x)在(－∞，－eq \r(m))上为增函数，在(－eq \r(m)，0]上为减函数，即f(x)max＝f(－eq \r(m))＝－meq \r(m)＋3meq \r(m)－2＝2meq \r(m)－2，f(0)＝－2<0，要使f(x)＝x3－3mx－2在(－∞，0]上有2个不同的零点，则f(x)max＝2meq \r(m)－2>0，即m>1，故实数m的取值范围是(1，＋∞)． 解法2(分离参数) 当x>0时，令f(x)＝e－x－eq \f(1,2)＝0，解得x＝ln2>0，此时函数f(x)有1个零点，因为要求函数f(x)在R上有3个不同的零点，则当x≤0时，f(x)＝x3－3mx－2有2个不同的零点，即x3－3mx－2＝0，显然x＝0不是它的根，所以3m＝x2－eq \f(2,x)，令y＝x2－eq \f(2,x)(x<0)，则y′＝2x＋eq \f(2,x2)＝eq \f(2（x3＋1）,x2)，当x∈(－∞，－1)时，y′<0，此时函数单调递减；