4.3等比数列-【新教材】人教A版（2019）高中 数学选择性必修二同步讲义

4.3 等比数列 SHAPE \* MERGEFORMAT 1、等比数列的概念 （1）如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列. 数学语言表达式： (n≥2，q为非零常数). （2）如果三个数a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，其中G＝±eq \r(ab). 2、等比数列的通项公式及前n项和公式 （1）若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1； 通项公式的推广：an＝amqn－m. （2）等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝eq \f(a1（1－qn）,　1－q　)＝eq \f(a1－anq,1－q). （3）错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法求解. 3、等比数列的性质 已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和. （1）若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有ak·al＝am·an. （2）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm. （3）当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn. 4、注意： （1）若数列 为等比数列，则数列 (c≠0)， ， ， 也是等比数列. （2）由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0. （3）在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误. 5、构造法： （1）由 相减得 ，则 为等比数列。 （2）设 ，得到 ， ，则 为等比数列。 SHAPE \* MERGEFORMAT 题型一 等比数列的基本公式 例1　等比数列 中， ， ． （1）求 的通项公式； （2）记 为 的前 项和，若 ，求 ． 【答案】（1） ；（2） . 【分析】 （1）设等比数列 的公比为 ，根据题意得出关于 和 的方程组，解出这两个量的值，然后利用等比数列的通项公式可求出数列 的通项公式； （2）利用等比数列的求和公式求出 ，然后解方程 可得 的值. 【详解】 （1