专题04 基本不等式（知识点串讲）-2020-2021学年高一上学期数学期中期末考点大串讲（新教材苏教版必修第一册）

专题04 基本不等式（知识点串讲） 【知识点--考点思维导图】 【重难突破】 知识点一 利用基本不等式求最值问题 1、已知x＞0，y＞0，则 (1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2eq \r(p)(简记：积定和最小)． (2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是eq \a\vs4\al(\f(q2,4))(简记：和定积最大)． 2、此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立.连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立. 典例1（2020·辽河油田第二高级中学高一期中）已知 ，函数 的最小值是（ ） A．5 B．4 C．8 D．6 变式1-1．（2020·海南省海南中学高一期末）已知 ,则 的最小值是( ) A．2 B． C．4 D． 变式1-2（2020届山东省枣庄市高二上学期统考）函数 的最小值是__________. 变式1-3（2020·山东省青岛二中高一期末）若正数 , 满足 ,则 的最小值为______. 变式1-4（2020·天津汉沽一中高二期末）若正数 满足 ，则 的最小值是（ ） A． B． C． D． 变式1-5（2020届山东师范大学附中高二月考）若 ， ， ，则 的最小值为（ ） A．9 B．8 C．7 D．6 变式1-6（2020·山东省聊城二中高一月考）已知 ，则 的值可能是（ ） A． B． C． D． 【方法技巧】1.通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点 拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．　 2.通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1； (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式； (4)利用基本不等式求解最值． 知识点二 利用基本不等式解决实际问题 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值． (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解 典例2（2020届山东师范大学附中高三月考）已知某工厂每天固定成本是4万元，每生产一件产品成本增加100元，工厂每件产品的出厂价定为 元时，生产 件产品的销售收入是 （元）， 为每天生产 件产品的平均利润（平均利润＝总利润/总产量）.（1）每天生产量 为多少时，平均利润 取得最大值？并求 的最大值； . 变式2-1（2020·济南市历城第二中学高一期末）有一批材料,可以建成长为240米的围墙.如图,如果用材料在一面靠墙的地方围成一块矩形的场地,中间用同样材料隔成三个相等面积的矩形,怎样围法才可取得最大的面积?并求此面积. 变式2-2．（2020届山东省潍坊市高三上期中）在经济学中，函数 的边际函数 定义为 ．某医疗设备公司生产某医疗器材，已知每月生产 台 的收益函数为 （单位：万元），成本函数 （单位：万元），该公司每月最多生产 台该医疗器材．（利润函数=收益函数－成本函数） （1）求利润函数 及边际利润函数 ； （2）此公司每月生产多少台该医疗器材时每台的平均利润最大，最大值为多少?（精确到 ） （3）求 为何值时利润函数 取得最大值，并解释边际利润函数 的实际意义． 知识点三 基本不等式的综合应用 1、几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；(2)eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2(a，b同号)； (3)ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)；(4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2≤eq \f(a2＋b2,2)(a，b∈R)； (5)eq \f(2ab,a＋b)≤eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)≤ eq \r(\f(a2＋b2,2))(a＞0，b＞0)． 2、知识点三 算术平均数与几何平均数 设a＞0，b＞0，则a，b的算术平均数为eq \f(a＋b,2)，几何平均数为eq \r(ab)，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 3、方法技巧：(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解． (2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解． (3)求参数的值或范围：观