第8讲不等式证明—【新教材】沪教版（2020）高中数学必修第一册练习（简单）

不等式证明

1.已知a>0,b>0且a+b=1求证：

 

 

 

 

 

 

 

2.已知a，b，c是实数，函数f(x)=ax2+bx+c，g(x)=ax+b，当－1≤x≤1时|f(x)|≤1.

(1)证明：|c|≤1；

(2)证明：当－1 ≤x≤1时，|g(x)|≤2；

(3)设a＞0，有－1≤x≤1时， g(x)的最大值为2，求f(x).

 

 

 

 

 

 

 

3.已知函数f(x)= (b＜0)的值域是［1，3］，

(1)求b、c的值；

(2)判断函数F(x)=lgf(x)，当x∈［－1，1］时的单调性，并证明你的结论；

(3)若t∈R，求证：lg≤F(|t－|－|t+|)≤lg.

 

 

 

 

 

 

4.（Ⅰ）设证明，

（Ⅱ），证明.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

答案

1.【思路点拨】利用不等式

【证明】若x>0,y>0,则

即

所以当a>0，b>0，且a+b=1时

当且仅当即时取等号.

【总结升华】本题考查不等式的证明，解题关键时要注意到基本不等式与均值不等式之间的关系，同时要考虑到不等式中等号成立的条件.

 

2.【思路点拨】关于函数不等式，需要对自变量灵活取值，凑出需要的函数值。

 (1)证明：由条件当=1≤x≤1时，|f(x)|≤1，取x=0得：|c|=|f(0)|≤1，即|c|≤1.

(2)证法一：依题设|f(0)|≤1而f(0)=c，所以|c|≤1.

当a＞0时，g(x)=ax+b在［－1，1］上是增函数，于是

g(－1)≤g(x)≤g(1)，(－1≤x≤1).

∵|f(x)|≤1，(－1≤x≤1)，|c|≤1，

∴g(1)=a+b=f(1)－c≤|f(1)|+|c|=2，