第8讲不等式证明—【新教材】沪教版（2020）高中数学必修第一册练习（简单）

不等式证明 1.已知a>0,b>0且a+b=1求证： 2.已知a，b，c是实数，函数f(x)=ax2+bx+c，g(x)=ax+b，当－1≤x≤1时|f(x)|≤1. (1)证明：|c|≤1； (2)证明：当－1 ≤x≤1时，|g(x)|≤2； (3)设a＞0，有－1≤x≤1时， g(x)的最大值为2，求f(x). 3.已知函数f(x)= (b＜0)的值域是［1，3］， (1)求b、c的值； (2)判断函数F(x)=lgf(x)，当x∈［－1，1］时的单调性，并证明你的结论； (3)若t∈R，求证：lg ≤F(|t－ |－|t+ |)≤lg . 4.（Ⅰ）设证明， （Ⅱ），证明. 答案 1.【思路点拨】利用不等式 【证明】若x>0,y>0, 则 即 所以当a>0，b>0，且a+b=1时 当且仅当 即 时取等号. 【总结升华】本题考查不等式的证明，解题关键时要注意到基本不等式与均值不等式之间的关系，同时要考虑到不等式中等号成立的条件. 2.【思路点拨】关于函数不等式，需要对自变量灵活取值，凑出需要的函数值。 (1)证明：由条件当=1≤x≤1时，|f(x)|≤1，取x=0得：|c|=|f(0)|≤1，即|c|≤1. (2)证法一：依题设|f(0)|≤1而f(0)=c，所以|c|≤1. 当a＞0时，g(x)=ax+b在［－1，1］上是增函数，于是 g(－1)≤g(x)≤g(1)，(－1≤x≤1). ∵|f(x)|≤1，(－1≤x≤1)，|c|≤1， ∴g(1)=a+b=f(1)－c≤|f(1)|+|c|=2， g(－1)=－a+b=－f(－1)+c≥－(|f(－2)|+|c|)≥－2， 因此得|g(x)|≤2 (－1≤x≤1)； 当a＜0时，g(x)=ax+b在［－1，1］上是减函数， 于是g(－1)≥g(x)≥g(1)，(－1≤x≤1)， ∵|f(x)|≤1 (－1≤x≤1)，|c|≤1 ∴|g(x)|=|f(1)－c|≤|f(1)|+|c|≤2. 综合以上结果，当－1≤x≤1时，都有|g(x)|≤2. 证法二：∵|f(x)|≤1(－1≤x≤1) ∴|f(－1)|≤1，|f(1)|≤1，|f(0)|≤1， ∵f(x)=ax2+bx+c，∴|a－b+c|≤1，|a+b+c|≤1，|c|≤1， 因此，根据绝对值不等式性质得： |a－b|=|(a－b+c)－c|