5.1 任意角和弧度制-2020-2021学年高一数学考点讲解练（人教A版2019必修第一册）

5.1 任意角和弧度制 考点讲解 考点1：任意角的概念 【例1】　下列命题正确的是(　　) A．终边与始边重合的角是零角 B．终边和始边都相同的两个角一定相等 C．在90°≤β<180°范围内的角β不一定是钝角 D．小于90°的角是锐角 【答案】C 【解析】终边与始边重合的角还可能是360°，720°，…，故A错；终边和始边都相同的两个角可能相差360°的整数倍，如30°与－330°，故B错；由于在90°≤β<180°范围内的角β包含90°角，所以不一定是钝角，C正确；小于90°的角可以是0°，也可以是负角，故D错误． 【方法技巧】 　理解与角的概念有关问题的关键 关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧：判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可． 【针对训练】 1．若将钟表拨慢10分钟，则时针转了______度，分针转了________度． 【答案】　5°　60° 【解析】　由题意可知，时针按逆时针方向转了10×＝5°，分针按逆时针方向转了10×＝60°. 考点2：终边相同的角的表示 【例2】　已知角α＝2020°. （1）把α改写成k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角； （2）求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ<720°. 【解析】(1)由2020°除以360°，得商为5，余数为220°. ∴取k＝5，β＝220°，α＝5×360°＋220°. 又β＝220°是第三象限角，∴α为第三象限角． (2)与2020°终边相同的角为 k·360°＋2020°(k∈Z)． 令－360°≤k·360°＋2020°<720°(k∈Z)， 解得－6≤k<－3(k∈Z)． 所以k＝－6，－5，－4. 将k的值代入k·360°＋2020°中，得角θ的值为－140°，220°，580°. 【方法技巧】 （1）求适合某种条件且与已知角终边相同的角的方法 先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值． （2）求终边落在直线上的角的集合的步骤 ①写出在0°～360°范围内相应的角； ②由终边相同的角的表示方法写出角的集合； ③根据条件能合并的一定要合并，使结果简洁． 【针对训练】 2．如图所示，求终边落在直线y＝x上的角的集合． 【解析】　终边落在射线y＝x(x>0)上的角的集合是S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，终边落在射线y＝x(x≤0)上的角的集合是S2＝{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}，于是终边落在直线y＝x上的角的集合是S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}. 考点3：象限角的判断 【例3】　已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限角． （1）－75°；（2）855°；（3）－510°. 【解析】作出各角，其对应的终边如图所示． （1）由图①可知－75°是第四象限角． （2）由图②可知855°是第二象限角． （3）由图③可知－510°是第三象限角． 【方法技巧】 　象限角的判断方法 （1）根据图形判定，在直角坐标系中作出角，角的终边落在第几象限，此角就是第几象限角； （2）根据终边相同的角的概念把角转化到0°～360°范围内，转化后的角在第几象限，此角就是第几象限角． 【针对训练】 3．已知α是第二象限的角，则180°－α是第________象限的角． 【解析】　由α是第二象限的角可得90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)，则180°－(180°＋k·360°)<180°－α<180°－(90°＋k·360°)(k∈Z)，即－k·360°<180°－α<90°－k·360°(k∈Z)，所以180°－α是第一象限的角． 考点4：角度与弧度的互化 【例4】　将下列角度与弧度进行互化． （1）20°；（2）－15°；（3）；（4）－. 【解析】(1)20°＝＝. (2)－15°＝－＝－. (3)＝×180°＝105°. (4)－＝－×180°＝－396°. 【方法技巧】 　角度制与弧度制互化的原则 牢记180°＝π rad，充分利用1°＝ rad和1 rad＝°进行换算． 【针对训练】 4．－630°化为弧度为________． 【解析】　－630°＝－630×＝－π. 5．α＝－3 rad，它是第________象限角． 【解析】　根据角度制与弧度制的