4.5 函数运用（二）-2020-2021学年高一数学考点讲解练（人教A版2019必修第一册）

4.5 函数的运用（二） 考点讲解 考点1：求函数的零点 【例1】（1）求函数f(x)＝的零点； （2）已知函数f(x)＝ax－b(a≠0)的零点为3，求函数g(x)＝bx2＋ax的零点． 【方法技巧】函数零点的求法 （1）代数法：求方程fx＝0的实数根. （2）几何法：对于不能用求根公式的方程fx＝0，可以将它与函数y＝fx的图象联系起来.图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点. 【针对训练】 1．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出；否则，请说明理由． （1）f(x)＝x2＋7x＋6； （2）f(x)＝1－log2(x＋3)； （3）f(x)＝2x－1－3； （4）f(x)＝. 考点2：判断函数零点所在的区间 【例2】（1）函数f(x)＝ln(x＋1)－的零点所在的大致区间是(　　) A．(3,4)　　　　　　 B．(2，e) C．(1,2) D．(0,1) （2）根据表格内的数据，可以断定方程ex－x－3＝0的一个根所在区间是(　　) x －1 0 1 2 3 ex 0.37 1 2.72 7.39 20.08 x＋3 2 3 4 5 6 A.(－1,0) B．(0,1) C．(1,2) D．(2,3) 【方法技巧】判断函数零点所在区间的三个步骤 （1）代入：将区间端点值代入函数求出函数的值. （2）判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断. （3）结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点. 【针对训练】 2．若函数f(x)＝x＋(a∈R)在区间(1,2)上有零点，则a的值可能是(　　) A．－2　　　　　 B．0 C．1 D．3 考点3：函数零点的个数 [探究问题] 1．方程f(x)＝a的根的个数与函数y＝f(x)及y＝a的图象交点个数什么关系？ 2．若函数g(x)＝f(x)－a有零点，如何求实数a的范围？ 【例3】　已知0<a<1，则函数y＝a|x|－|logax|的零点的个数为(　　) A．1　　　　B．2 C．3　　　　 D．4 【变式探究】 1．把本例函数“y＝a|x|－|logax|”改为“y＝2x|logax|－1”，再判断其零点个数． 2． 若把本例条件换成“函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点”，求实数b的取值范围． 考点4：二分法的概念 【例4】　已知函数f(x)的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为(　　) A．4,4　　　B．3,4　　　C．5,4　　　 D．4,3 【方法技巧】 判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点.因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适合. 【针对训练】 4．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是(　　) A　 　B　　　 　C　　　　D 考点5：用二分法求函数零点的近似值 [探究问题] 1．用二分法求方程的近似解，如何决定步骤的结束？ 2．用二分法求方程的近似解时，精确度不同对零点有影响吗？ 【例5】　求函数f(x)＝x3－3x2－9x＋1的一个负零点(精确度0.01)． 【变式探究】 1．(变条件)求本例函数f(x)在区间[－2，－1]上精确度为0.1的一个零点近似值． 3． 若将本例函数改为“f(x)＝x3＋2x2－3x－6”，如何求该函数的正数零点？(精确度0.1) 【方法技巧】利用二分法求方程近似解的过程图示 考点六：利用已知函数模型解决实际问题 【例6】　物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述，设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)×，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期，现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min，那么降温到32 ℃时，需要多长时间？ 【方法技巧】 已知函数模型解决实际问题，往往给出的函数解析式含有参数，需要将题中的数据代入函数模型，求得函数模型中的参数，再将问题转化为已知函数解析式求函数值或自变量的值. 【针对训练】 6．某种商品在近30天内每件的销售价格P(元)和时间t(天)的函数关系为： P＝(t∈N*) 设该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系为Q＝40－t(0<t≤30，t∈N*)，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大是第几天？ 考点7：自建确定性函数模型解决实际问题 【例7】　牧场中羊群的最大畜养量为m只，为保证羊群的生长空间，实际畜养量不能达到最大畜养量，必须留出适当的空闲量．已知羊群的年增长量