第2章 平面解析几何初步讲解-高中数学必修2经纶学典【学霸题中题】(苏教版)

经纶学典数学·必修2·江苏国标 例4已知直线l1的倾斜角a1=15°,直线l1与l2的交 (2)直线的倾斜角是一个角(图形),而斜率是一个实 点为A,直线l1和!3向上的方向之间所成的角为120°,数值(数),斜率的绝对值越大,直线的倾斜角越接近90 求直线l2的倾斜角 因此,斜率是从代数的角度刻画了直线相对于x轴正方 解如图设2与x轴交于点B,1与x轴交于点C,由向的倾斜钟程度,它的取值范围是(一∞,+∞ 已知∠ACB=15°,∠BAC=120°,得∠ABC=45°,故l2 (3)不同的倾斜角对应不同的斜率,因此,要确定 的倾斜角为180°-45°=135 条直线,只要知道直线上一个定点和它的斜率即可. 例5下列叙述中不正确的是 A.若直线的斜率存在,则必有倾斜角与之对应 B.每一条直线都有唯一对应的倾斜角 C.与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0°或90° D.若直线的倾斜角为a,则直线的斜率为tana 方法求直线倾斜角的方法及关注点 答 (1)方法 解析」由a=90时,斜率不存在故选D 定义法:根据题意画出图形,结合倾斜角的定义找倾注意对于任意一条直线都有倾斜角,但不一定有斜率, 当倾斜角为90°时,斜率不存在,直线的斜率随倾斜角的 分类法:根据题意把倾斜角a分为以下四类讨论 变化应分为[0°,90°)和(90°,180°)两个区间说明,不能整 a=0°,0°<a<90°,a=90°,90°<a<180°, 体地在区间[0°,180°)上说倾斜角越大,斜率越大.直线的 (2)关注点 倾斜角与斜率的单调性对应关系如下表 结合图形求角时,应注意平面几何知识的应用,如三 角形内角和定理及其有关推论 直线平行于 逆时针 垂直于 逆时针 注意理解直线的倾斜角首先要弄清以下几个问題 情况 旋转 旋转 (1)倾斜角定义中含有三个条件 0°<a<90°a 90°<a<180 ①x轴正向;②直线向上的方向;③小于180°的非 k的范围k=0 k>0 不存在 k<0 k的增 (2)从运动变化的观点来看,直线的倾斜角是由x轴 相等 递增 递增 按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的最小正角 (3)直线的倾斜角a的取值范围是0°≤a<180 要点4三点共线问题 要点3直线斜率与倾斜角 知识点41 知识点3 若点A,B,C均在斜率存在的直线l上,那么任意两 斜率与倾斜角的关系 点的坐标都可以表示直线l的斜率k,即kAB=kAC 当倾斜角α=0°时,k=0,直线与x轴平行或重合 (或kA=kmC或kAC=kmC),反过来,若kAB=kAc(或 当0°<a<90°时,k>0,且k值增大,倾斜角随着kA=km或k=km),则直线AB与直线AC的倾斜角 增大; 相同,即AB与AC所在的直线重合,所以可利用斜率公 当a=90°时,k不存在(此时直线是存在的,直线与式解决点共线间题 x轴垂直); 例6若三点A(2,-3),B(4,3),C(5,k)在同一条直线 当90<a<180时,k<0,且k值增大,倾斜角随着上,则实数k 增大 答案6 特别提醒(1)直线都存在唯一的倾斜角,但并不是每条 解析由直线上两点的斜率公式得kAB=km 直线都存在斜率,倾斜角为90°的直线没有斜率;倾斜 不是90°的直线都有斜率,倾斜角不同,直线的斜率也不 同;反之,斜率为k的直线都有唯一确定的倾斜角,但直 并不唯一(如下节将学到的一组平行直线,它们的倾斜 角相等) ∴k-3=3,解得k= 经宇典数学·必 国 (3)如果直线l过点P1(x1,y1)y (2)∵∠A=60°,∴kA=tan60°=√3 且与x轴垂直,这时它的倾斜角为 P,(ur,) 直线AC的方程为y-1=3(x-1 90°,斜率不存在,它的方程不能用点 ∠B=45°,∴kBC=tan135 斜式表示,这时直线的方程表示为 直线BC的方程为y 如图②所示 方法总结(1)利用点斜式求直线方程的步骤:①判断斜 (4)经过P(x1,y1)的直线有无数条,表示过点P的率k是否存在,并求出存在时的斜率;②在直线上找一 直线可分为两类: 点,并求出其坐标.(2)要注意点斜式直线方程的逆向运 ①斜率存在的直线方程为y-y1=k(x-x1) 用,即由方程 k(x-x。)可知该直线过定点 ②斜率不存在的直线方程为x=x P(xa,y),且斜率为k 注意要注意 k与y-y1=k(x-x1)是不 要点2直线的斜截式方程 知识点2 等价的,前者表示的直线上缺少一个点P1(x1,y1),后者 (1)斜截式方程,当b=0时,y=kx表示过原点的直 表示的才是整条直线 线;当k=0时,y=b(b≠0)表示与x轴平行的直线; 例1求满足下列条件的直线的点斜式方程 当k=0,且b=0时,y=0表示x轴 (1)过点P(-4,3),斜率k=-3; (2)