专题05《二次根式》-期末挑重点之2020-2021学年上学期八年级数学（湘教版）

专题05《二次根式》 知识点一： 二次根式的概念 形如（）的式子叫做二次根式。 注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。 知识点二：取值范围 1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。 知识点三：二次根式（）的非负性 （）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。 注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。 知识点四：二次根式（）的性质 （） 文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 知识点五：二次根式的性质 知识点六：与的异同点 1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的， ，而 2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而. 知识点七：二次根式的运算 （1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面． （2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． =·（a≥0，b≥0）； （b≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，�乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． 考点一：二次根式有意义的条件 例1.（2020·湖北·中考真卷）式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 分析：根据二次根式有意义的条件可得，再解即可． 解答：由题意得：， 解得：， 点评：此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数． 考点二：二次根式的性质 例2.（2020·内蒙古·中考真卷）已知实数在数轴上的对应点位置如图所示，则化简的结果是（ ） A. B. C. D. 分析：根据数轴上点的位置，判断出和的符号，再根据非负数的性质进行化简． 解答：由图知：，∴ ，， 原式＝原式＝＝＝． 点评：此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出，是解题关键． 考点三：最简二次根式 例3.（2020·山东·中考真卷） 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 分析：利用最简二次根式定义判断即可． 解答：、是最简二次根式，符合题意；、，不是最简二次根式，不符合题意； 、，不是最简二次根式，不符合题意；、，不是最简二次根式，不符合题意． 点评：此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键． 考点四：二次根式的化简 例4.（2020·黑龙江·中考真卷）计算的结果是________． 分析：根据二次根式的性质化简二次根式后，再合并同类二次根式即可． 解答：原式． 点评：本题主要考查了二次根式的加减，熟记二次根式的性质是解答本题的关键． 考点五：二次根式的乘除法 例5.（2020·山东·中考真卷）计算的结果正确的是(        ) A. B. C. D. 分析：根据二次根式的性质化简二次根式后，再根据二次根式的乘除法法则计算即可． 解答：解：原式. 点评：本题主要考查了二次根式的乘除，熟记二次根式的性质是解答本题的关键． 考点六：二次根式的加减法 例6.（2019-2020·北京·期中试卷）． 分析：直接化简二次根式进而合并得出答案． 解答：原式＝＝． 点评：此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关 考点七：二次根式的混合运算 例7.（2019·辽宁·中考真卷）计算： 分析：直接利用完全平方公式以及结合二次根式的性质化简进而得出答案． 解答：原式＝＝＝． 点评：此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键． 考点八：二次根式的化简求值 例8.（2020·安徽·中考模拟）