专题03《实数》-期末挑重点之2020-2021学年上学期八年级数学（湘教版）

专题03《实数》 平方根： 1、定义：如果一个数x的平方等于a，即。那么，这个x叫做a的平方根。记作，读作“正、负根号a”。a叫做被开方数。规定0的算术平方根还是0。 2、性质：（1）正数有两个平方根，它们互为相反数。 （2）0的平方根是0。负数没有平方根。 算术平方根： 1、定义：如果一个正数x的平方等于a，即。那么，这个正数x叫做a的算术平方根。记作，读作“根号a”。a叫做被开方数，规定0的算术平方根还是0。 2、性质：双重非负性（，）。负数没有算术平方根。 3、（a是任意数），（a是非负数）。 ，，， 立方根： 1、定义：如果一个数x的立方等于a， 即。那么，这个x叫做a的立方根。记作，读作“三次根号a”。a叫做被开方数。 2、性质：（1）正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。 （2）a取任意数 （3） 无理数： 1、 定义：无限不循环小数叫做无理数. 无理数的类型：①开方开不尽的方根 ②圆周率π以及含有π ③具有特定结构的数（0.010010001……） 实数与数轴的关系：实数和数轴上的点具有一一对应关系。 考点一：平方根的意义 例1.（2020·江苏·中考真卷）的平方根等于________． 【解析】直接根据平方根的定义进行解答即可． 【解答】解：∵ ， ∴ 的平方根是． 故答案为：. 【点评】本题考查的是平方根的定义，即如果一个数的平方等于，这个数就叫做的平方根，也叫做的二次方根． 考点二：算术平方根的意义 例2.（2020·浙江·中考真卷）的算术平方根是(        ) A. B. C. D. 【解析】算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果． 【解答】∵ 的平方为，算数平方根是非负数， ∴ 的算术平方根为． 故选. 【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误． 考点三：平方根的性质 例3.（2020·广东·中考真卷）一个正数的平方根分别是和，则＝________． 【解析】根据正数的两个平方根互为相反数列出关于的方程，解之可得． 【解答】根据题意知＝， 解得：＝， 【点评】本题主要考查的是平方根的定义和性质，熟练掌握平方根的定义和性质是解题的关键． 考点四：算术平方根的非负性 例4.（2020·广东·中考真卷）若＝，则＝________． 【解析】根据非负数的意义，求出、的值，代入计算即可． 【解答】∵ ＝， ∴ ＝且＝， 解得，＝，＝， ∴ ＝＝， 【点评】本题考查非负数的意义和有理数的乘方，掌握非负数的意义求出、的值是解决问题的关键． 考点五：无理数的识别 例5.（2020·甘肃·中考真卷）下列实数是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【解析】根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）逐个判断即可． 【解答】，则由无理数的定义可知，属于无理数的是． 【点评】本题考查了无理数，能熟记无理数的定义是解此题的关键，注意：无理数含有①含的，②开方开不尽的根式，③一些有规律的数，④． 考点六：立方根的意义 例6.（2020·江苏·中考真卷）的立方根为（ ） A. B. C. D. 【解析】根据立方根的定义求出的值，即可得出答案． 【解答】的立方根是， 【点评】本题考查了对立方根的定义的理解和运用，注意：的立方根是． 考点七 实数和数轴的关系  例7.（2020·山东·中考真卷）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【解析】直接利用，在数轴上位置进而分别分析得出答案． 【解答】、，故本选项错误； 、∵ ，，∴ ，故本选项错误； 、，故本选项错误； 、∵ ，∴ ，故本选项正确； 【点评】此题主要考查了实数与数轴，正确结合数轴分析是解题关键．  考点八：无理数的估算 例8.（2020·浙江·中考真卷）无理数在(        ) A.和之间 B.和之间 C.和之间 D.和之间 【解析】由可以得到答案． 【解答】解：∵ ， ∴ . 故选. 【点评】此题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数的方法是解本题的关键． 考点九：实数的分类 例9.（2019-2020·云南·期中试卷）把下列各数填入相应的集合内： ，，，，，，，，． 正数集合：{        }； 分数集合：{        }； 无理数集合：{        }； 实数集合：{        }； 【解析】（1）根据正数的定义：正数是大于零的数． 【解答】解：正数集合：， ，