4.4 对数函数-2020-2021学年高一数学考点讲解练（人教A版2019必修第一册）

4.4 对数函数 考点讲解 考点1：对数函数的概念及应用 【例1】（1）下列给出的函数：①y＝log5x＋1；②y＝logax2(a>0，且a≠1)；③y＝log(－1)x； ④y＝log3x；⑤y＝logx(x>0，且x≠1)；⑥.其中是对数函数的为(　　) A．③④⑤　　　　　 B．②④⑥ C．①③⑤⑥ D．③⑥ （2）若函数y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，则a＝________． （3）已知对数函数的图象过点(16，4)，则＝____________. 【答案】(1)D　(2)4　(3)－1 【解析】(1)由对数函数定义知，③⑥是对数函数，故选D. (2)因为函数y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数， 所以 解得a＝4. (3)设对数函数为f(x)＝logax(a>0且a≠1)， 由f(16)＝4可知loga16＝4，∴a＝2， ∴f(x)＝log2x， ∴＝log2＝－1. 【方法技巧】判断一个函数是对数函数的方法 【针对训练】 1. 若函数f(x)＝(a2＋a－5)logax是对数函数，则a＝________． 【答案】2　 【解析】由a2＋a－5＝1得a＝－3或a＝2. 又a>0且a≠1，所以a＝2. 考点2：对数函数的定义域 【例2】　求下列函数的定义域： （1）；（2）f(x)＝＋ln(x＋1)；（3）f(x)＝log(2x－1)(－4x＋8)． 【解析】（1）要使函数f(x)有意义，则>0，即>－1，解得0<x<2，即函数f(x)的定义域为(0，2)． （2）函数式若有意义，需满足即解得－1<x<2，故函数的定义域为(－1，2)． （3）由题意得解得故函数y＝log(2x－1)(－4x＋8)的定义域为 【方法技巧】 求对数型函数的定义域时应遵循的原则 （1）分母不能为0. （2）根指数为偶数时，被开方数非负． （3）对数的真数大于0，底数大于0且不为1. 提醒：定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等于1. 【针对训练】 2．求下列函数的定义域： （1）f(x)＝lg(x－2)＋； （2）f(x)＝logx＋1(16－4x)． 【解析】(1)要使函数有意义，需满足 解得x>2且x≠3， 所以函数定义域为(2，3)∪(3，＋∞)． (2)要使函数有意义，需满足 解得－1<x<0或0<x<4， 所以函数定义域为(－1，0)∪(0，4)． 考点3：对数的比较 【例3】　比较下列各组值的大小： （1）和；（2）和；（3）和 【解析】　(1)法一(单调性法)：对数函数y＝log5x在(0，＋∞)上是增函数，而<，所以log5<log5. 法二(中间值法)：因为log5<0，log5>0， 所以log5<log5. (2)法一(单调性法)：由于log2＝，log2＝， 又因对数函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数， 且>，所以0>log2>log2， 所以<，所以<. 法二(图象法)：如图，在同一坐标系中分别画出y＝及y＝的图象，由图易知：<. (3)取中间值1， 因为log23>log22＝1＝log55>log54， 所以log23>log54. 【方法技巧】 比较对数值大小的常用方法 （1）同底数的利用对数函数的单调性． （2）同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化． （3）底数和真数都不同，找中间量． 提醒：比较数的大小时先利用性质比较出与零或1的大小． 【针对训练】 3. 比较下列各组值的大小： （1），； （2）log1.51.6，log1.51.4； （3）log0.57，log0.67； （4）log3π，log20.8. 【解析】　(1)因为函数y＝是减函数，且0.5<0.6，所以>. (2)因为函数y＝log1.5x是增函数，且1.6>1.4，所以log1.51.6>log1.51.4. (3)因为0>log70.6>log70.5， 所以<， 即log0.67<log0.57. 考点4：对数函数的图象问题 【探究问题】 1．如图，曲线C1，C2，C3，C4分别对应y＝loga1x，y＝loga2x，y＝loga3x，y＝loga4x的图象，你能指出a1，a2，a3，a4以及1的大小关系吗？ 提示：作直线y＝1，它与各曲线C1，C2，C3，C4的交点的横坐标就是各对数的底数，由此可判断出各底数的大小必有a4>a3>1>a2>a1>0. 2．函数y＝ax与y＝logax(a>0且a≠1)的图象有何特点？ 提示：两函数的图象关于直线y＝x对称． 【例4】（1）当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝l