考点07 手拉手模型-2020-2021学年八年级数学上册期末考点专项复习之全等三角形辅助线解题方法（人教版）

考点7：手拉手模型 1．（2020·巴彦淖尔市临河区第八中学期中）如图，点C是线段AB上任意一点（点C与点A，B不重合），分别以AC，BC为边在直线AB的同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，AE与CD相交于点M，BD与CE相交于点N．连接MN． 证明：（1）△ACE≌△DCB； （2）△ACM≌△DCN； （3）MN∥AB． 2．（2020·广州市番禺执信中学期中）如图，两个正方形ABCD与DEFG，连结AG，CE，二者相交于点H． （1）证明：△ADG≌△CDE； （2）请说明AG和CE的位置和数量关系，并给予证明； （3）连结AE和CG，请问△ADE的面积和△CDG的面积有怎样的数量关系？并说明理由． 3．（2020·长沙市望城区郡维学校月考）如图，在中，以AB，AC为边向外作等边和等边，连结BE，CF交于点O． 求证：（1）； （2）AO平分∠EOF． 4．（2019·廊坊市第四中学期中）如图1，点是线段上除点、外的任意一点，分别以、为边在线段的同旁做等边三角形和等边三角形，连接和BC相交于点Q， （1）求证：． （2）求的度数． （3）如图2所示，和仍为等边三角形，但和不在同一条直线上，是否成立，的度数与图1是否相等，请直接写出结论． 5．（2020·江苏初二月考）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE（正三角形也叫等边三角形，它的三条边都相等，三个内角都等于60°），AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．试说明： （1）AD=BE； （2）填空∠AOE= °； （3）CP=CQ； 6．（2020·盐城市盐都区实验初中月考）如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC．判断线段EC与BF数量关系和位置关系， 并给予证明． 7．（2020·滨州实验学校初二期中）如图，B，C，E三点在一条直线上，△ABC和△DCE均为等边三角形，BD与AC交于点M，AE与CD交于点N． （1）求证：AE＝BD； （2）连接MN，求证：MN∥BE； （3）若把△DCE绕点C顺时针旋转一个角度，（1）中的结论还成立吗？说明理由． 8．（2020·四川期末）（1）如图1，和都是等边三角形，且，，三点在一条直线上，连接，相交于点，求证：． （2）如图2，在中，若，分别以，和为边在外部作等边，等边，等边，连接、、恰交于点． ①求证：； ②如图2，在（2）的条件下，试猜想，，与存在怎样的数量关系，并说明理由． 9．如图，均为等腰直角三角形，连接AE，CD，AE与CD相等吗？说明理由 10．（2020·四川初一期末）已知：如图，点B在线段AD上，ABC和BDE都是等边三角形，且在AD同侧，连接AE交BC于点G，连接CD交BE于点H，连接GH． （1）求证：AE=CD； （2）求证：AG=CH； （3）求证：GH∥AD． ( 试卷第 1 页，总 3 页 ) ( 试卷第 1 页，总 3 页 ) 参考答案 ( 答案第 1 页，总 2 页 ) ( 1 )答案第1页 1．【详解】 （1）∵△ACD和△BCE是等边三角形， ∴AC＝CD，BC＝CE，∠ACD＝∠BCE＝60°， ∴∠ACD＋∠DCE＝∠BCE＋∠DCE，∠DCB＝∠ACE， 在△ACE与△DCB中， ， ∴△ACE≌△DCB（SAS）； （2）由（1）得：△ACE≌△DCB， ∴∠EAC＝∠BDC， ∵∠ACD＝∠BCE＝60°， ∴∠DCE＝60°， ∴∠ACD＝∠DCE， 在△ACM与△DCN中， ， ∴△ACM≌△DCN（ASA）． （3）由（2）得：△ACM≌△DCN， ∴CM＝CN， 又∵∠MCN＝180°−60°−60°＝60°， ∴△MCN是等边三角形， ∴∠MNC＝60°＝∠NCB， ∴MN∥AB． 2．【详解】 （1）∵四边形ABCD与DEFG都是正方形， ∴AD=CD，DG=DE，∠ADC=∠EDG=90°， ∴∠ADC+∠CDG=∠EDG+∠CDG， ∴∠ADG=∠CDE， ∴△ADG≌△CDE（SAS）， （2）AG=CE，AG⊥CE， ∵△ADG≌△CDE， ∴AG=CE，∠DAG=∠DCE， ∵∠DAG+∠AMD=90°，∠AMD=∠CMG， ∴∠DCE+∠CMG=90°，∴∠CHA=90°， ∴AG⊥CE； （3）△ADE的面积=△CDG的面积， 作GP⊥CD于P，EN⊥AD交AD的延长线于N，则∠DPG=∠DNE=90°， ∵∠GDE=90°，∴∠EDN+∠GDN=90°， ∵∠PDG+∠GDN=90°，∴∠EDN=∠PDG， ∵DE=DG，∴△DPG≌△DNE， ∴PG=EN， ∵△ADE的面积=，△CDG的面积=，∴△A