考点05 半角模型-2020-2021学年八年级数学上册期末考点专项复习之全等三角形辅助线解题方法（人教版）

考点5：半角模型 1．（2020·南京师范大学盐城实验学校月考）如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC= 90°，AB=AC，点M，N在边BC 上，且∠MAN=45°．若BM= 1，CN=3，求MN的长． 2．（2020·盐城市盐都区实验初中月考）在∠MAN内有一点D，过点D分别作DB⊥AM，DC⊥AN，垂足分别为B，C．且BD=CD，点E，F分别在边AM和AN上． （1）如图1，若∠BED=∠CFD，请说明DE=DF； （2）如图2，若∠BDC=120°，∠EDF=60°，猜想EF，BE，CF具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由． 3．（2020·全国专题练习）如图，已知：正方形，点，分别是，上的点，连接，，，且，求证：． 4．（2020·山东济南·期末）如图，正方形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，连接EF，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．例如图中△ADF与△ABG可以看作绕点A旋转90°的关系．这可以证明结论“EF＝BE＋DF”，请补充辅助线的作法，并写出证明过程． （1）延长CB到点G，使BG＝ ，连接AG； （2）证明：EF＝BE＋DF 5．如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，将绕点A顺时针旋转 后，得到，连接EM，AE，且使得． （1） 求证：；（2）求证：. 6．如图所示，在中，，，的两边交边于，两点，将绕点旋转 （1）画出绕点顺时针旋转后的； （2）在（1）中，若，求证：； （3）在（2）的条件下，若，直接写出的长. 7．正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM. （1）求证：EF=FM （2）当AE=1时，求EF的长． 8．（2019·全国初二专题练习）如图：E、F分别是正方形ABCD的边CD、DA上一点，且CE+AF=EF，请你用旋转的方法求∠EBF的大小． 9．（2020·陕西期末）如图，，，点、分别在边、上，，过点作，且点在的延长线上． （1）与全等吗？为什么？ （2）若，，求的长． 10．（2020·重庆北碚·初三其他）已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点． 当绕点旋转到时（如图1），易证． （1）当绕点旋转到时（如图2），线段和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明． （2）当绕点旋转到如图3的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想． 试卷第1页，总3页 试卷第1页，总3页 参考答案 1． 答案第1页，总2页 答案第1页，总2页 2． 解：如图，过点C作CE⊥BC，垂足为点C， 截取CE，使CE＝BM．连接AE、EN． ∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠B＝∠ACB＝45°． ∵CE⊥BC， ∴∠ACE＝∠B＝45°． 在△ABM和△ACE中， ∴△ABM≌△ACE（SAS）． ∴AM＝AE，∠BAM＝∠CAE． ∵∠BAC＝90°，∠MAN＝45°， ∴∠BAM＋∠CAN＝45°． 于是，由∠BAM＝∠CAE，得∠MAN＝∠EAN＝45°． 在△MAN和△EAN中， ∴△MAN≌△EAN（SAS）． ∴MN＝EN． 在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN2＝EC2＋NC2． ∴MN2＝BM2＋NC2． ∵BM＝1，CN＝3， ∴MN2＝12＋32， ∴MN＝． 2．【详解】 （1）∵ DB⊥AM，DC⊥AN， ∴ ∠DBE=∠DCF=90°． 在△BDE和△CDF中， ∵ ∴ △BDE≌△CDF（AAS）． ∴ DE=DF． （2）过点D作∠CDG=∠BDE，交AN于点G． 在△BDE和△CDG中， ∵ ∴ △BDE≌△CDG（ASA） ∴DE=DG，BE=CG． ∵∠BDC=120°，∠EDF=60°， ∴ ∠BDE+∠CDF=60°． ∴ ∠FDG=∠CDG+∠CDF=60°． ∴ ∠EDF=∠GDF． 在△EDF和△GDF中， ∴ △EDF≌△GDF（SAS）． ∴ EF=FG． ∴ EF=FC+CG=FC+BE． 3．【详解】 如解图，将绕点逆时针旋转至的位置，使与重合． ∴，． ∵． ∴， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∵， ∴． 4．解：（1）根据旋转的性质知BG=DF，从而得到辅助线的做法：延长CB到点G，使BG=DF，连接AG； （2）∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=AD，∠ADF=∠ABE=∠ABG=90°， 在△ADF和△ABG中 ∴△ADF≌△ABG（SAS）， ∴AF=AG，∠DAF=∠GAB， ∵∠EAF=45°， ∴∠DAF+∠EAB=45°， ∴∠GAB+∠EAB=45°， ∴∠GAE