专题02《全等三角形》-期末挑重点之2020-2021学年上学期人教版八年级数学

专题02 全等三角形 1．全等三角形定义 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． 2．全等三角形的性质 （1）全等三角形的对应边相等，对应角相等． （2）全等三角形的周长相等，面积相等． （3）全等三角形的对应的中线、高、角平分线相等． （4）传递性：若△ABC≌△DEF，△DEF≌△MNP，则△ABC≌△MNP． 3．全等三角形的判定 （1）判定方法： ①依据定义． ②依据判定定理． （2）判定定理 ①三边分别相等的两个三角形全等（可以简写为“SSS”）． ②两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写为“SAS”）． ③两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写为“ASA”）． ④两角分别相等且其中一角的对边也相等的两个三角形全等（可以简写为“AAS”）． ⑤斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写为“HL”）． （3）证明思路 ① ② ③ （4）常用策略：添加辅助线法 ①连接两点的线段． ②过某点做某线的平行线，帮助找到相等的角，从而构造出全等三角形． ③作垂线，以出现直角、距离、高；题中若有角平分线、等腰三角形等条件时常作这样的辅助线，便于找到相等线段或便于用三线合一定理． ④题中出现垂直平分线条件时，向线段两端点连线． ⑤截取与某线段相等的线段，从而构造出全等三角形． 4．角的平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等． 几何语言：∵OQ平分∠AOB，且QE⊥OB，QD⊥OA， ∴QD=QE． 5．角的平分线的判定定理：在角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上． 几何语言：∵QE⊥OB，QD⊥OA，且QD=QE， ∴OQ平分∠AOB． 6．尺规作图 （1）作已知角（课本P36）． （2）作角平分线（课本P48）． （3）作线段的垂直平分线（课本P63）． （4）作已知直线的垂线（课本P62）． ①过已知直线上一点作已知直线的垂线 ②过已知直线外一点作已知直线的垂线 考点一、全等三角形的性质 例1 （2020淄博）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（ ） A. AC=DE B. ∠BAD=∠CAE C. AB=AE D. ∠ABC=∠AED. 【答案】B 【解析】∵△ABC≌△ADE， ∴AC=AE，AB=AD，∠ABC=∠ADE，∠BAC=∠DAE， ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC， 即∠BAD=∠CAE. 故A，C，D选项错误，B选项正确， 故选：B. 【名师点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 考点二、全等三角形的判定 例2（2020永州）如图，已知AB=DC，∠ABC=∠DCB，能直接判断△ABC≌△DCB的方法是（ ） A. SAS B. AAS C. SSS D. ASA 【答案】A 【解析】∵AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=CB， ∴△ABC≌△DCB（SAS） 故选：A. 【名师点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握相关判定定理是解题的关键． 考点三、角平分线的性质 例3（2020怀化）在Rt△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD=3，则DE的长为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 6 【答案】A． 【解析】∵∠B=90°， ∴DB⊥AB， 又∵AD平分∠BAC， DE⊥AC， ∴DE=BD=3， 故选：A． 【名师点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 考点四、角平分线的判定 例4 （2020焦作月考）已知，如图，∠MON=60°，点A，B为射线OM，ON上的动点（点A，B不与点O重合），在∠MON的内部、△AOB的外部有一点P. 且AP=BP，∠APB=120°． 求证：点P在∠MON的平分线上. 【答案】见解析. 【解析】如图，过点P分别作PS⊥OM于点S， PT⊥ON于点T， ∴∠OSP=∠OTP=90°， 在四边形OSPT中， ∠SPT=360°-∠OSP-∠SOT-∠OTP=360°-90°-60°-90°=120°， ∴∠APB=∠SPT=120° ∴∠APS=∠BPT， 又∵∠ASP=∠BTP=90° AP=BP ∴△APS≌△BPT ∴PS=PT ∴点P在∠MON的平分线上. 【名师点睛】本题考查全等三角形的性质和角平分线的判定定理，角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．用判定定理证明较为简单．题中角平分线的性质定理和判定定理都要用到，注意书写的规范，弄清每个定理需要的条件及得出的结论． 考点五、尺规作图 例5 （2020