考点20 等差数列及其前n项和-备战2021年浙江新高考数学一轮复习考点帮

考点20 等差数列及其前n项和 【命题解读】 （1）理解等差数列的概念； （2）掌握等差数列的通项公式与前n项和公式； （3）了解等差数列通项公式与一次函数的关系； （4）了解等差数列前n项和公式与二次函数的关系； 【命题预测】 1.考查等差数列的通项公式和求和公式，需熟记公式，属于基础题； 2.考查等差数列通项公式及前n项和公式的应用，考查分组求和法的应用及转化化归思想，属于中档题； 3.考查等差数列性质的应用，属于基础题； 4.预计在2021年高考中仍然会对本节内容进行重点考查. 【复习建议】 一．等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示． 二．等差数列的通项公式 如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋(n－1)d. 三．等差中项 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项． 四．等差数列的常用性质 由等差数列的定义可得公差为的等差数列具有如下性质： （1）通项公式的推广：，． （2）若，则． 特别地，①若，则； ②若，则． ③有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，都等于首末两项的和，即 （3）下标成等差数列的项组成以md为公差的等差数列． （4）数列是常数是公差为td的等差数列． （5）若数列为等差数列，则数列是常数仍为等差数列． （6）若，则． 五．等差数列的前n项和公式 设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝或Sn＝na1＋d. 六．等差数列的前n项和公式与函数的关系 Sn＝n2＋n. 数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)． 七．等差数列的前n项和的最值 在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值． 考向一 等差数列的判定与证明 等差数列的判定与证明的方法： 定义法：或是等差数列； 定义变形法：验证是否满足； 等差中项法：为等差数列； 通项公式法：通项公式形如为常数为等差数列； 前n项和公式法：为常数为等差数列． 典例1 判断下列数列是否为等差数列 (1)在数列{an}中，an＝3n＋2； (2)在数列{an}中，an＝n2＋n. [思路探究]　 ―→―→ [解] (1)an＋1－an＝3(n＋1)＋2－(3n＋2)＝3(n∈N*)．由n的任意性知，这个数列为等差数列． (2)an＋1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2，不是常数，所以这个数列不是等差数列． 考向二 等差数列的通项公式 解题技巧：求解等差数列通项公式的方法主要有两种： （1）定义法.（2）前项和法，即根据前项和与的关系求解. 典例1 已知数列{an}是等差数列，且a5＝10，a12＝31. (1)求{an}的通项公式；(2)若an＝13，求n的值． [思路探究]　 建立首项a1和d的方程组求an；由an＝13解方程得n. [解]　 (1)设{an}的首项为a1，公差为d，则由题意 可知解得∴an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5. (2)由an＝13，得3n－5＝13，解得n＝6. 考向三 等差数列的前n项和 等差数列前n项和公式的应用方法： 根据不同的已知条件选用不同的求和公式，若已知首项和公差，则使用；若已知通项公式，则使用 典例1 记为等差数列的前项和，已知，. （1）求的通项公式；（2）求，并求的最小值. 【答案】（1）；（2），最小值为. 【解析】 【分析】 （1）设的公差为，根据题意，求出公差，即可得出通项公式； （2）由（1）的结果，根据等差数列的求和公式，求出，配方，即可得出其最小值. 【详解】 （1）设的公差为，由得， 又，所以，解得； 所以的通项公式为； （2）由（1）得， 又， 所以当时，取得最小值，最小值为. 【点睛】 本题主要考查求等差数列的通项公式，考查求等差数列前项和及前项和的最小值，属于基础题型. 考向四 等差数列的性质 等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题. 解题时要注意性质运用的限制条件，明确各性质的结构特征是正确解题的前提．如，则，只有当序号之和相等、项数相同时才成立． 典例1 已知数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，2＋a5＝a6＋a3，则S7等于(　　) A．2 B．7 C．14 D．28 答案　C 解析　∵2＋a5＝a6＋a3，∴2＋a4＋d＝a4＋2d＋a4－d，解得a4＝2， ∴S7＝＝7a4＝14. 故选C. 典例2 已知数列是一个等差数列，且，； （