考点19 数列的概念与简单表示法-备战2021年浙江新高考数学一轮复习考点帮

考点19 数列的概念与简单表示法 【命题解读】 （1）了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）； （2）了解数列是自变量为正整数的一类函数； （3）理解数列的项及通项公式. 【命题预测】 1．考查用不完全归纳法求数列的一个通项公式； 2．高考对递推公式和通向公式的考查难度适中，一般是通过变换转化成特殊的数列求解； 3．考查数列与函数之间的特殊关系，将数列的单调性转化为相应函数的单调性； 4．预计2021年高考中，仍会对本节内容进行重点考查. 【复习建议】 一、数列的定义 按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项. 二、数列的分类 分类原则 类型 满足条件 按项数分类 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 按项与项间的大小关系分类 递增数列 an＋1＞an 其中n∈N* 递减数列 an＋1＜an 常数列 an＋1＝an, 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 三、数列的通项公式 如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式. 四、通项公式和递推公式的异同点 不同点 相同点 通项 公式 可根据某项的序号n的值，直接代入求出an 都可确定一个数列，也都可求出数列的任意一项 递推 公式 可根据第一项(或前几项)的值，通过一次(或多次)赋值，逐项求出数列的项，直至求出所需的an，也可通过变形转化，直接求出an .五、数列的表示方法 （1）列举法：将数列中的每一项按照项的序号逐一写出，一般用于“杂乱无章”且项数较少的情况． （2）解析法：主要有两种表示方法， ①通项公式：如果数列的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即． ②递推公式：如果已知数列的第一项(或前几项)，且任一项与它的前一项 (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． （3） 图象法：数列是特殊的函数，可以用图象直观地表示．数列用图象表示时，可以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标描点画图．由此可知，数列的图象是无限个或有限个孤立的点． 六、数列的前n项和与通项的关系 数列的前n项和通常用表示，记作，则通项． 若当时求出的也适合时的情形，则用一个式子表示，否则分段表示． 考向一 数列的通项公式 常见的数列的通项公式： （1）数列1，2，3，4，…的通项公式为； （2）数列2，4，6，8，…的通项公式为； （3）数列1，4，9，16，…的通项公式为； （4）数列1，2，4，8，…的通项公式为； （5）数列1，，，，…的通项公式为； （6）数列，，，，…的通项公式为． 典例1 根据数列的前几项，写出下面数列的一个通项公式. （1）； （2）8，98，998，9998，…; （3）; 【解析】（1）符号问题可通过或表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大，故通项公式为. （2）各项分别加上2，即得数列:10，100，1000，10000， …， 故数列的一个通项公式为an=10n−2. （3）各项的分母依次为:21，22，23，24， …， 容易看出第2，3，4项的分子比相应分母小3， 再由各项的符号规律，把第1项变形为，既符合符号变化的规律，也满足了分子与分母之间的关系， 故数列的一个通项公式为. 考向二 数列的递推公式 解题技巧： 递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项.高考对递推公式的考查难度适中，一般是通过变换转化成特殊的数列求解. 典例1 已知数列满足，若，则=（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 依次求出得解. 【详解】 时，； 时，； 时，. 故选：A 【点睛】 本题主要考查利用递推公式求数列的项，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 考向三 利用与的关系求通项公式 已知求的一般步骤： （1）先利用求出； （2）用替换中的n得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式； （3）对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写. 利用求通项公式时，务必要注意这一限制条件，所以在求出结果后，要看看这两种情况能否整合在一起． 典例1 设数列的前项和. 则的值为（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用得出数列的通项公差，然后求解. 【详解】 由得，，， 所以， 所以，故. 故选：C. 【点睛】 本题考查数列的通项公式求解，较简单，利用求解即可. 考向四 数列的单调性 数列单调性的判断方法： ①作差法