考点03 实际应用与二次函数-2020-2021学年九年级数学下册高频考点专题突破（北师大版）

考点3、实际问题与二次函数 知识框架 一、基础知识点 知识点3-1 列二次函数解决实际问题的一般步骤 1）列二次函数解决实际问题的原则，与一元二次方程的实际问题原则类似： ①根据题意和实际问题涉及的类型，建立等量关系式； ②以利于表示等量关系式为原则，设出2个变量，注意区分自变量和因变量（与一元二次方程不同的地方）； ③依据等量关系式和变量建立函数关系式，转化为二次函数问题； ④解决二次函数，并解答。 注：一元二次方程通常有2解，但是，应检验方程的2个根是否都符合实际情况。 例1.（2020.重庆市初三期中）某商品现在的销售价为每件60元，每星期可卖出300件。市场调查发现，若果每降价1元，每星期多少卖20件。已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ 【答案】每件降价5元利润最大，最大利润为：6250元 【解析】①建立等量关系式： 此题是利润问题，等量关系式为：总利润=每件的利润×售出的件数 ②设出2个变量： ∵题目研究总利润，∴设总利润为因变量y，便于研究 ∵每件的利润与售出的件数都与商品降价有关，∴设每件降价x元 ③建立函数关系式： 总利润为：y；每件的利润为：（60－x－40）=（20－x）元；售出的件数为：（300+20x）件 ∴函数关系式为：y=（20－x）（300+20x） 化简得：y= ④解决二次函数问题，并解答： 题干求最值，2种方法： 方法一：配方法求最值： 函数配方得：y= ∴当x=5时，y有最大值，为6250 方法二：利用函数的性质求最值： ∵a=－10＜0，∴函数有最大值 当x=时有最大值，最大值y= ∴降价5元时有最大利润，为6250元 答：略 例2．（2020·齐齐哈尔市朝鲜族学校初三期中）如图，是某公园一圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管OA＝1.25m，A处是喷头，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，水落地后形成一个圆，圆心为O，直径为线段CB．建立如图所示的平面直角坐标系，若水流路线达到最高处时，到x轴的距离为2.25m，到y轴的距离为1m，则水落地后形成的圆的直径CB＝_____m． 【答案】5 【分析】设y轴右侧的抛物线解析式为：y＝a（x−1）2＋2.25，将A（0，1.25）代入，求得a，从而可得抛物线的解析式，再令函数值为0，解方程可得点B坐标，从而可得CB的长． 【解析】解：设y轴右侧的抛物线解析式为：y＝a（x﹣1）2+2.25 ∵点A（0，1.25）在抛物线上∴1.25＝a（0﹣1）2+2.25解得：a＝﹣1 ∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+2.25 令y＝0得：0＝﹣（x﹣1）2+2.25 解得：x＝2.5或x＝﹣0.5（舍去）∴点B坐标为（﹣2.5，0） ∴OB＝OC＝2.5 ∴CB＝5 故答案为：5． 【点睛】本题考查二次函数在实际问题中的应用，明确二次函数的相关性质及正确解方程，是解题的关键． 例3．（2020·浙江省初三二模）为运用数据处理道路拥堵问题，现用流量（辆／小时）、速度（千米／小时）、密度（辆／千米）来描述车流的基本特征．现测得某路段流量与速度之间关系的部分数据如下表： 速度（千米／小时） …… 15 20 32 40 45 …… 流量（辆／小时） …… 1050 1200 1152 800 450 …… 若己知、满足形如（、为常数）的二次函数关系式，且、、满足．根据监控平台显示，当时，道路出现轻度拥堵，试求此时密度的取值范围是______． 【答案】 【分析】利用待定系数法求出，将变形为：，将代入，再求出当时，k的取值范围即可． 【解析】由表格可知函数过（15，1050）、（20，1200），可得： 解得∴∵∴， 将代入得： ∵ ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了利用待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，掌握待定系数法求反函数的解析式是解题的关键． 例4．（2020·吉林省第二实验学校初三月考）某一房间内A、B两点之间设有探测报警装置，小车（不计大小）在房间内运动，当小车从AB之间（不包括A、B两点）经过时，将触发报警．现将A、B两点放置于平面直角坐标系中，（如图），已知点A、B的坐标分别为（0，4），（4，4），小车沿抛物线（＜0）运动．若小车在运动过程中触发两次报警装置，则的取值范围是__________． 【答案】＜＜ 【分析】先把抛物线解析式分解因式，得其与x轴的交点坐标及对称轴，再分别代入临界点的坐标（0，4）和（4，4），结合二次项系数大小与开口大小及与x轴的交点为定点等即可解答． 【解析】解：抛物线， ∴其对称轴为：，且图象与x轴交于（，0），（3，0）． ∵抛物线顶点为（1，），当顶点在线段AB上时，有，则； 当抛物线过点（0，4）时，代入解析式得：；∴， 由对称轴